Đề thi học sinh giỏi cấp cụm trường THPT môn Toán Lớp 11 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán – Lớp 11 Ngày thi: 01/3/2016 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm) Giải các phương trình sau:

1) . 2) Bài 2 (4 điểm)

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong mỗi số lập được có chữ số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước.

2) Cho là số nguyên dương, chứng minh

Bài 3 (4 điểm)

Cho dãy số thỏa mãn:

1) Chứng minh

2) Tính

Bài 4 (4 điểm)

1) Cho tam giác có ba cạnh có độ dài lập thành một cấp số nhân. Chứng minh tam giác không có hai góc lớn hơn 2) Cho tam giác nhọn. Tìm vị trí điểm M thuộc miền trong của tam giác sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5 ( 4 điểm)

Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là điểm bất kỳ trên cạnh ( không trùng với và ). Mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng cắt lần lượt tại

1) Chứng minh mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng cố định.

2) Chứng minh biểu thức có giá trị không đổi.

---------------- HẾT ----------------

Họ tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh:……………………………..

sin cos 2sin3 x x x   sin2 2 3. x tanx  

n

0 1 1 2 2 3 1 1 2 ... . n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C       

  nu

    1

1

2 1. 1

1 1 n n

n u u n

u



      



2

1, 1. 1

n n u n n n     

2 . . lim ( 1)

n n u n 

ABC

ABC

0 60 . ABC ABC MA MB MC  

.S ABCD M SC M S C   AM BD , SB SD , . E F

 

SB SD SC T SE SF SM   

DeThi.edu.vn

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11

Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1 Giải pt… 4 điểm Giải pt: 𝑠𝑖𝑛𝑥- 𝑐𝑜𝑠𝑥= 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 2 điểm Pt tương đương 𝑠𝑖𝑛3𝑥= sin (𝑥-

𝜋 4) 1,0

Câu 1

Pt có hai nghiệm 𝑥= ―

𝜋 8 + 𝑘𝜋 ; 𝑥=

5𝜋 16 +

𝑘𝜋

2 với 𝑘∈𝚉 1,0

Giải pt: 𝑠𝑖𝑛2𝑥+2𝑡𝑎𝑛𝑥= 3. 2 điểm

Điều kiện: 𝑐𝑜𝑠𝑥≠0 hay 𝑥≠

𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍𝚉 0,5

Đặt 𝑡= 𝑡𝑎𝑛𝑥 , 𝑡∈𝑅, ta có 𝑠𝑖𝑛2𝑥=

2𝑡 1 + 𝑡2 0,5

Pt trở thành :

2𝑡 1 + 𝑡2 +2𝑡= 3 ⇔2𝑡3 - 3𝑡2 +4𝑡- 3 = 0⇔𝑡= 1 0,5

Câu 2

Với 𝑡= 1 = 𝑡𝑎𝑛

𝜋 4 nên 𝑥=

𝜋 4 + 𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍𝚉 là nghiệm của pt. 0,5 Bài 2 4 điểm Có bao nhiêu chữ số….. 2 điểm Câu 1

Ta dễ thấy số 0 không có mặt trong số được lập. 0,5 Cứ mỗi tổ hợp chập 5 của 9 phần tử sẽ cho 1 cách sắp thứ tự duy nhất số liền sau lớn hơn số liền trước, 1,0

Số số lập được là 𝐶5

9 = 126 số 0,5

Chứng minh rằng: 𝐶0

𝑛𝐶1

𝑛+ 𝐶1

𝑛𝐶2

𝑛+ 𝐶2

𝑛𝐶3

𝑛+ … + 𝐶𝑛-1

𝑛𝐶𝑛

𝑛= 𝐶𝑛+1

2𝑛. 2 điểm Xét khai triển: (1 + 𝑥)𝑛= 𝐶0

𝑛+ 𝑥𝐶1

𝑛+ 𝑥2𝐶2

𝑛+ … + 𝑥𝑛-1𝐶𝑛-1

𝑛 + 𝑥𝑛𝐶𝑛

𝑛 với 𝑥∈𝑅. (𝑥+ 1)𝑛= 𝑥𝑛𝐶0

𝑛+ 𝑥𝑛-1𝐶1

𝑛+ 𝑥𝑛-2𝐶2

𝑛+ … + 𝑥𝐶𝑛-1

𝑛 + 𝐶𝑛

𝑛

0,5

Câu 2

Hệ số của 𝑥𝑛+1 trong khai triển (1 + 𝑥)𝑛(𝑥+ 1)𝑛 là: 𝐶0

𝑛𝐶1

𝑛+ 𝐶1

𝑛𝐶2

𝑛+ 𝐶2

𝑛𝐶3

𝑛+ … + 𝐶𝑛-1

𝑛𝐶𝑛

𝑛

0,5

Do (1 + 𝑥)𝑛(𝑥+ 1)𝑛= (1 + 𝑥)2𝑛= ∑2𝑛

𝑘=0 𝐶𝑘

2𝑛𝑥𝑘 nên hệ số của 𝑥𝑛+1 là 𝐶𝑛+1

2𝑛

0,5

Cân bằng hệ số 𝑥𝑛+1 cùng 1 khai triển ta được 𝐶0

𝑛𝐶1

𝑛+ 𝐶1

𝑛𝐶2

𝑛+ 𝐶2

𝑛𝐶3

𝑛+ … + 𝐶𝑛-1

𝑛𝐶𝑛

𝑛= 𝐶𝑛+1

2𝑛 (ĐPCM) 0,5

Bài 3 4 điểm

Chứng minh rằng 𝑛2

𝑛+ 1 ≤𝑢𝑛≤𝑛+1. Ta dùng PP quy nạp toán học. 3 điểm Với n=1 bài toán đúng 0,5 Câu 1

Giả sử bài toán đúng với 𝑛= 𝑘≥1 ta có 𝑘2

𝑘+ 1 ≤𝑢𝑘≤𝑘+1 (1) 0,5

DeThi.edu.vn

Ta CM bài toán đúng với 𝑛= 𝑘+1 túc là:

(𝑘+ 1)2

𝑘+ 2 ≤ 𝑢𝑘+1 ≤𝑘+2. Thật vậy, do giả thiết ta có: (𝑢𝑘+ 1)𝑢𝑘+1 = (𝑘+ 1)2

nên 𝑢𝑘+1 =

(𝑘+ 1)2

𝑢𝑘+ 1 ≥

(𝑘+ 1)2

𝑘+ 2

1,0

Ta lại có 𝑘2

𝑘+ 1 ≤𝑢𝑘 do (1)

nên 𝑢𝑘+1 =

(𝑘+ 1)2

𝑢𝑘+ 1 ≤

(𝑘+ 1)2

𝑘2

𝑘+ 1 + 1 = 𝑘+2 ―

1 𝑘2 + 𝑘+ 1 ≤𝑘+2.

Bài toán đúng với 𝑛= 𝑘+1.

1,0

1 điểm

Từ trên ta có:

𝑛3

(𝑛+ 1)(𝑛2 + 1) ≤

𝑛𝑢𝑛 𝑛2 + 1 ≤

𝑛(𝑛+ 2)

𝑛2 + 1

mà 𝑙𝑖𝑚

𝑛3

(𝑛+ 1)(𝑛2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚

𝑛(𝑛+ 2)

𝑛2 + 1 = 1

0,5

Câu 2

Do đó,

𝑙𝑖𝑚

𝑛𝑢𝑛 𝑛2 + 1 = 1 0,5

Bài 4 4 điểm Cmr tam giác ABC… 2 điểm

Vai trò 3 cạnh của tam giác bình đẳng, nên ta giả sử 𝑎≥𝑏≥𝑐 nên ta có 𝐴≥𝐵≥𝐶. Ta cần CMR góc 𝐵≤60°. 0,5

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC ta có: 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 - 2𝑎𝑐.

𝑐𝑜𝑠𝐵 Do, 3 cạnh 𝑎;𝑏;𝑐 lập thành cấp số nhân nên 𝑏2 = 𝑎𝑐 do đó, 𝑎𝑐= 𝑎2 + 𝑐2 - 2𝑎𝑐.𝑐𝑜𝑠𝐵≥2𝑎𝑐(1 ― 𝑐𝑜𝑠𝐵)

1,0

Câu 1

Suy ra 𝑐𝑜𝑠𝐵≥

1 2 = 𝑐𝑜𝑠60°. Mà 𝑦= 𝑐𝑜𝑠𝑥 nghịch biến trên [0;

𝜋 2] Nên 𝐵≤60° . Bài toán được CM.

0,5

Câu 2 1 điểm Do tam giác ABC nhọn nên nếu tam giác đều thì M là trọng tâm tam giác. Xét phép …