Đề giao lưu HSG lớp 6 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Lang Chánh Thanh Hóa

UBND HUYỆN LANG CHÁNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6

CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 01 tháng 4 năm 2023

(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1.(4,0 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau: a) ( ) 2013 .2014 1007.26 − +

b) { } 3 3 3 8 6 0 2 .5 3. 400 673 2 .(7 :7 7 )   − − − +  

c) 1 1 1 1 1 2023 ... 2.6 4.9 6.12 36.57 38.60 − − − − − −

Câu 2. (4.0 điểm). Tìm số nguyên x biết: 1) Tìm x biết: ( ) 3 3 2 3 7 2 .3 53 x − = +

2) ( 1 1 1 ... 2 3 2022 + + + ). x = 2021 2020 2 1 ... 1 2 2020 2021 + + + +

Câu 3. (6,0 điểm). 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ,x y sao cho: 2 1 − − = xy x y 2) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6 , chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11. 3) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2

Câu 4.(4,0 điểm). 1) Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng

nhau. Biết rằng 4cm PQ = . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

2) Cho đoạn thẳng 8 AB cm = . Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho 4 BC cm = . Tính độ dài đoạn thẳng AC . 3) Cho điểm Q không thuộc đường thẳng xy và lấy thêm 2019 điểm phân biệt khác thuộc đường thẳng xy và không trùng với 4 điểm , , , A B M O . Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 điểm trong số các điểm đã cho?

Câu 5. (2,0 điểm). Chứng tỏ rằng: 2 3 200 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 3 2 2 2 2       = + + + + <             P

-----HẾT---- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .................................................. SBD............

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 6 Câu Nội dung Điểm 1 (4đ)

a) (1 điểm):

( ) ( ) ( ) ( )

2013 .2014 1007.26

2013 .2014 2014.13

2014. 2013 13

2014. 2000 4028000

− +

= − +

= − +

= − = −

0.5đ

0.25đ 0.25đ

b) (1 điểm) 23. 53 – 3.{400 – [673 – 23.(78 : 76 + 70)]} = 8.125 – 3.{400 – [673 – 8.50]} = 1000 – 3.{400 – 273}= 619

0.5đ 0.5đ

c) (2 điểm)

1 1 1 1 1 2023 ... 2.6 4.9 6.12 36.57 38.60 1 1 1 1 1 1 2023 ... 2.3 1.2 2.3 3.4 18.19 19.20

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2023 1 ... 2.3 2 2 3 3 4 18 19 19 20

− − − − − −

  = − + + + + +       = − − + − + − + + − + −    

1 1 2023 1 6 20 1 19 101 2023 . 2022 6 20 120

  = − −    

= − =

0.75đ

0.75đ

0,25 đ

0,25 đ

2 (4đ)

1) (2 điểm): Ta có ( ) 3 3 2 3 7 2 .3 53 x − = +

( ) 3 3 7 125 x − =

( ) 3 3 3 7 5 x − =

3 7 5 x − =

3 5 7 12 x = + =

12:3 4 x = =

Vậy 4 x =

0.5đ

0.5đ

0,5đ

0,25đ

0,25

2) ( 2 điểm) ( 1 1 1 ... 2 3 2022 + + + ). x = 2021 2020 2 1 ... 1 2 2020 2021 + + + +

( 1 1 1 ... 2 3 2022 + + + ).x = 2020 2019 2 1 1 1 ... 1 1 1 2 3 2020 2021         + + + + + + + + +                

( 1 1 1 ... 2 3 2022 + + + ).x = 2022 2022 2022 2022 2022 2022 .... 2 3 4 2020 2021 2022 + + + + + +

( 1 1 1 ... 2 3 2022 + + + ).x = 1 1 1 2022. ... 2 3 2022   + + +     x 2022 ⇒ =

Vậy x = 2022

0, 5đ

0,5đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ

3 (6đ)

1.( 2 điểm) Ta có: 2 1 − − = xy x y

( ) ( ) 2 2 2 1 ⇒ − − − − = xy x y

( ) ( ) 2 2 3 ⇒ − − − = x y y

( )( ) 1 2 3 ⇒ − − = x y . Vì ; ∈ x y Z nên ( ) ( ) 1 ; 2 − − x y là ước của 3. Ta

có bảng sau:

1 − x 1 − 3 − 1 3

2 − y 3 − 1 − 3 1

Suy ra

x 0 2 − 2 4

y 1 − 1 5 3

Đối chiếu điều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; ; 0; 1 ; 2;1 ; 2;5 ; 4;3 ∈ ⇒ ∈ − − x y Z x y .

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ

2) (2 điểm)

Gọi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn đề bài là: a

Vì a chia cho 11 dư 6 nên ta có: 11. 6 ( ) a x x N = + ∈

27 11. 6 27 (11. 33) 11 a x x ⇒ + = + + = + 

( 27 )11 (1) a ⇒ +  Vì a chia cho 4 dư 1 nên ta có: 4. 1 ( ) a y y N = + ∈

27 (4. 1) 27 (4. 28) 4 a y y ⇒ + = + + = + 

( 27) 4 (2) a ⇒ +  Vì a chia cho 19 dư 11 nên ta có:

0,25đ

0,5đ

0,25đ