Chuyên đề cơ bản môn Toán 9 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (tập 1)

1

Chương 1. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn A. LÝ THUYẾT. 1) Phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều dài là ( ) x cm và chiều rộng ( ) y cm . Biết nửa chu vi của hình chữ

nhật là 16 cm . Hãy lập hệ thức thể hiện mối quan hệ của ba đại lượng trên.

Bài làm: Ta có hệ thức 16 x y + =

Hệ thức 16 x y + = là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.

Kết luận:

♣ Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax by c + = ( ) 1

Trong đó , , a b c là các số đã biết ( 0 a ≠ hoặc 0 b ≠ ).

♣ Nếu 0 x x = và 0 y y = , ta có 0 0 ax by c + = là một khẳng định đúng thì cặp số ( ) 0 0 ; x y được gọi là

một nghiệm của phương trình ( ) 1 .

Ví dụ 2: Trong các hệ thức sau, đâu là phương trình bậc nhất hai ẩn.

a) 3 4 5 x y − = b) 0. 0. 3 x y + = c) 0. 4 0 x y + =

d) 3 1 1 4 2 y x + = e) 1 2 0 3 4 x y + = f) 2 1 2 4 5 x y − = −

Bài làm: a) 3 4 5 x y − = là phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) 0. 0. 3 x y + = không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ số cả x và y để bằng 0 .

c) 0. 4 0 x y + = là phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) 3 1 1 4 2 y x + = không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì không phải dạng ax by c + = .

e) 1 2 0 3 4 x y + = là phương trình bậc nhất hai ẩn.

f) 2 1 2 4 5 x y − = − không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì x có bậc 2 .

Ví dụ 3: Biết rằng cặp số ( ) ;x y là nghiệm của phương trình 2 6 x y + = . Hãy hoàn thành bảng sau

Chú ý:

♣ Mỗi phương trình bậc hai có vô số nghiệm. Ví dụ 4: Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau

a) 2 4 x y − + = b) 0 3 x y + = c) 2 0. 4 x y − + =

Bài làm: a) Xét phương trình 2 4 x y − + = ( ) 1

Ta viết phương trình ( ) 1 thành 2 4 y x = +

Như vậy mỗi cặp số ( ) ;x y hay ( ) ; 2 4 x x + với mọi x∈ đều là một nghiệm của phương trình ( ) 1 .

6

1

2 1

2 y

x

2

Khi đó ta nói rằng, phương trình ( ) 1 có nghiệm tổng quát là ( ) ; 2 4 x x + với mọi x∈. Tập hợp

nghiệm của phương trình ( ) 1 được biểu diễn bởi các điểm thuộc đường thẳng 2 4 y x = + (Hình 1)

b) Xét phương trình 0 3 x y + = ( ) 2

Ta viết phương trình ( ) 2 thành 3 y = .

Phương trình ( ) 2 có nghiệm tổng quát là ( ) ; 3 x với mọi x∈. Tập hợp nghiệm của phương trình

( ) 2 được biểu diễn bởi các điểm thuộc đường thẳng 3 y = (Hình 2)

c) Xét phương trình 2 0. 4 x y − + = ( ) 3

Ta viết phương trình ( ) 3 thành 2 4 2 x x − = ⇒ = −.

Phương trình ( ) 3 có nghiệm tổng quát là ( ) 2; y − với mọi y∈. Tập hợp nghiệm của phương

trình ( ) 3 được biểu diễn bởi các điểm thuộc đường thẳng 2 x = − (Hình 3)

2) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Kết luận:

♣ Mỗi cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn ' ' ' ax by c a x b y c + =   + = 

( ) 1 được gọi là một hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn. ♣ Mỗi cặp số ( ) 0 0 ; x y được gọi là một nghiệm của hệ ( ) 1 nếu nó đồng thời là nghiệm của hai

phương trình của hệ ( ) 1 .

Ví dụ 5: Cho hệ phương trình 2 0 3 x y x y − =  + = 

.

Nhận thấy cặp số ( ) 1; 2 vừa là nghiệm của phương trình

2 0 x y − = vừa là nghiệm của phương trình 3 x y + = nên

cặp ( ) 1; 2 là nghiệm của phương trình trên.

Biểu diễn tập nghiệm của hệ phương trình trên mặt phẳng tọa độ như Hình 4.

Ví dụ 6: Trong các cặp số ( ) ( ) 1; 3 , 1; 3 − − cặp nào là nghiệm của hệ phương trình 4 7 5 2 x y x y − =   + = 

2

Hình 3

x = 2

x

y

O

3

O

y

x

y = 3

Hình 2 Hình 1

y = 2x+4

x

y

O

2

4

x

M (1; 2) 2

3

2x y=0

3

1 O

y

x+y=3

Hình 4