Bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

v

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

CƯA ĐỔ HÌNH KHÔNG GIAN

1 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton

BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Tạp chí và tư liệu toán học

Bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng là những bài toán tương đối khó và nằm ở mức vận

dụng và vận dụng cao, bên cạnh những phương pháp truyền thống như dựng hình tạo góc

thì trong chủ đề của tuần này ta sẽ cùng tìm hiểu tới 3 phương pháp giải quyết các bài toán

trắc nghiệm có thể nói gần như mọi bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng mà ta hay gặp. Bản

pdf được đăng trên blog Chinh phục Olympic toán các bạn chú ý đón đọc nhé!

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ.

1. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU.

Đây là một tính chất khá là cơ bản trong chương trình hình học 11 mà ta cần nắm rõ, công

thức của nó rất đơn giản như sau.

Nội dung. Cho hình S thuộc mặt phẳng  P , hình S ' là hình chiếu của S lên mặt phẳng   Q ,

khi đó ta có cosin góc giữa hai mặt phẳng  P và   Q được tính theo công thức S' cos S  .

Sau đây là ví dụ minh họa cho công thức này.

Bài toán

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có   AB a;AD 2a  AA' 4a . Gọi M,N,P lần lượt

thuộc các cạnh AA’, DD’, BB’ sao cho  MA MA' ,  ND 3ND' ,  PB' 3PB , mặt phẳng

  MNP cắt cạnh CC; tại Q. Tính cosin góc giữa    MNQP ; ABCD

Hướng dẫn

Đầu tiên ta cần phải chú ý tới cách dựng được

điểm Q. Kẻ đường nối tâm 2 đáy  , ta thấy PN

thuộc mặt phẳng   B'D'DB nên   sẽ cắt PN,

đồng thời P, M, N cùng thuộc mặt phẳng nên nối

M vs giao điểm vừa tìm được ta sẽ ra được điểm

Q. Vấn đề ở đây là ta cần tính được tỷ số C'Q

CQ , ta

sẽ sử dụng tới tính chất sau.

Đặt A'M B'P C'Q D'N x ,y ,z ,t AA' B'B C'C D'D     , khi đó

ta có 2 công thức cần nhớ sau:



A'B'C'D'.MPQN

A'B'C'D'.ABCD

V x y z t V 4    

 x z y t   

Q

M B' C'

D' A'

A D

C B

P

N

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

Áp dụng vào bài toán ta suy ra C'Q 1 CC' 2  . Để ý ta thấy rằng MN PQ,MP QN nên MNQP

là hình bình hành. Dễ dàng tính được các đoạn thẳng



2

2 1 1 2 10 MN PQ 4 2 2 3 3                 



2

2 1 1 13 MP QN 4 1 2 3 3                 

Mặt khác do MQ là đường trung bình của 2 2 1 1 5 A'C'CA MQ AC 1 2 2 2 2     

Từ đây dùng công thức Herong dễ dàng tính được MNQP

599 S 48 

Mặt khác hình chữ nhật ABCD chính là hình chiếu của hình bình hành MNQP lên mặt phẳng

  ABCD nên áp dụng công thức cần ta có     

ABCD

MNQP

S 599 cos MNQP ; ABCD S 96  

2. SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHỊ DIỆN.

Đây là một công cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng, hầu hết

các bài toán đơn giản hay đến phức tạp đều có thể giải bằng phương pháp này, sau đây ta

sẽ cùng tìm hiểu nó. Trong phần này mình sẽ chỉ hướng dẫn các bước làm cho các bạn!

Các bước thực hiện.

Bước 1: Đưa góc giữa hai mặt phẳng về góc giữa hai mặt phẳng kề nhau của một tứ diện.

Chú ý điều này luôn thực hiện được.

Bước 2: Sử dụng công thức: 1 2 2S S sin V 3a

  . Trong đó 1 2 S ,S lần lượt là diện tích hai tam

giác kề nhau của tứ diện, a là độ dài giao tuyến, còn  là góc giữa hai mặt phẳng cần tìm.

Bài toán

Cho tứ diện S.ABC,       o o o SA a;SB 2a;SC 3a;ASB 60 ;BSC 90 ;CSA 120 . Tính cosin

     SAB ; SBC .

Hướng dẫn