Các dạng bài tập VDC thể tích của khối đa diện

BÀI 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A. LÍ THUYẾT

Công thức tính thể tích khối chóp, lăng trụ

Thể tích khối chóp: .

Trong đó: : Diện tích mặt đáy.

h: Độ dài chiều cao khối chóp.

Thể tích khối lăng trụ:

Trong đó: : Diện tích mặt đáy.

h: Chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối hộp chữ nhật:

Thể tích khối lập phương: Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là

cạnh bên.

Chú ý:

+) Đường chéo của hình vuông cạnh a là: a 2

.

+) Đường chéo của hình lập phương cạnh a là:

a 3

+) Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba

kích thước a, b, c là:   2 2 2 a b c .

+) Đường cao của tam giác đều cạnh a là: 3 2 a

1 . 3 đáy V S h

đáy S

 . đáy V S h

đáy S

. . V a b c

 3 V a

CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG CẦN NẮM

1. Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho vuông tại A, đường cao AH.

+) ; +) ;

+) ; +) ;

+) ; +) ;

+) .

b) Cho có độ dài ba cạnh a, b, c; độ dài các trung tuyến ; bán kính đường tròn

ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p.

+) Định lí hàm số cosin:

;

;

.

+) Định lí hàm số sin: .

+) Độ dài trung tuyến:

.

2. Các công thức tính diện tích

a) Tam giác:

+)

+)

+)

+) (p: nửa chu vi của tam giác).

+)

+) vuông tại A:

+) đều, cạnh a: .

ABC

  2 2 2 AB AC BC  2 . AC CH BC

 . . AH BC AB AC  2 . AB BH BC

 2 . AH BH HC   2 2 2 1 1 1 AH AB AC

    .sin .cos .tan .cot AB BC C BC B AC C AC B

ABC , , a b c m m m

   2 2 2 2 .cos a b c bc A

   2 2 2 2 .cos b c a ca B

   2 2 2 2 .cos c a b ab C

  2 sin sin sin a b c R A B C

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 2 4 2 4 2 4 a b c b c a c a b a b c m m m         

   1 1 1 . . . 2 2 2 a b c S a h b h c h

   1 1 1 sin casin sin 2 2 2 S bc A B ab C

4 abc S R

 S pr

        S p p a p b p c

ABC   . . 2 2 AB AC BC AH S

ABC  

2 3 3 , 2 4 a a AH S

b) Hình vuông: (a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành:

e) Hình thoi:

f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:

NHẮC LẠI CÁCH XÁC ĐỊNH CAC GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

Để tính góc     , SA P , ta gọi H là hình chiếu vuông góc

của S trên  P . Khi đó HA là hình chiếu vuông góc của SA

trên  P .

Vậy         , , SA P SA AH SAH   .

Góc giữa cạnh bên và mặt đứng

Để tính góc      , SB SAH biết    SAH P  ta dựng

  BK AH K AH   . Vì BK AH

BK SH

     nên   BK SAH 

Khi đó K là hình chiếu vuông góc của B trên   SAH

 SK là hình chiếu vuông góc của SB trên   SAH

Vậy          , , SB SAH SB SK BSK  

Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng

lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy

Để tính góc      , SAB P , ta gọi H là hình chiếu vuông

góc của S trên  P .

Kẻ   HI AB I AB  

 2 S a

 S ab

   đáy chiều cao = . .sin S AB AD BAD

  1 . .sin . 2 S AB AD BAD AC BD

    1 2 S a b h

1 . 2 S AC BD

  AB HI AB SHI AB SI AB SH          

Vậy          , , SAB P SI HI SIH   .

Góc giữa mặt bên và mặt đứng

Để tính góc       , SAB SAH biết    SAH P  , ta kẻ

    BK HA BK HA K HA BK SHA BK SH           .

Kẻ   KI SA I SA  

  SA KI SA BKI SA BI SA BK          

Vậy           , , SAB SAH KI BI BIK   .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

1. Phương pháp

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, thì

cạnh bên đó chính là chiều cao của khối chóp.

MÔ HÌNH 1

Hình chóp .S ABC , cạnh SA vuông góc với đáy.

+ Đáy là tam giác ABC.

+ Đường cao SA.

+ Cạnh bên SB, SC, SA.

+ SAB  , SAC  là các tam giác vuông tại A.

+ Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc  SBA.

+ Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc  SCA.

+ Góc giữa mặt bên SBC với đáy là góc  SHA

với H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.