Bàn về một cách tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Trong chương trình toán THPT, các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng tuy không mới. Song, nó vẫn mang tính thời sự trong các bài kiểm tra định kì, các kì thi học sinh giỏi, kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm. Bài viết sau đây khai thác một hướng tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

1. Kiến thức cơ bản

1.1. Định nghĩa

Cho đường thẳng a và mặt phẳng  . Góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a của nó

trên mặt phẳng   được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  .

1.2. Các xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  

 Cách 1:

Bước 1. Tìm  O a    .

Bước 2. Lấy A a  và dựng  AH   tại H .

Khi đó       , , a a a AOH     .

Bước 3. Tính số đo của góc  AOH

 Chú ý:    0 , 90 a    

 Cách 2: Tính gián tiếp theo một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Chọn một đường thẳng // d a mà góc giữa d và   có thể tính được.

Từ đó ta có:         , , a d   

Hướng 2: Chọn một mặt phẳng   //   mà góc giữa a và   có thể tính được.

Từ đó ta có:         , , a a   

Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận năng lực người học

Bàn về một cách tiếp cận khác cho bài toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ths. HOÀNG MINH QUÂN GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội



a

a'

H O

A



NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Tuy nhiên việc xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng không phải lúc nào cũng thuận lợi. Chính vì vậy, việc đưa ra một cách tiếp cận khác là sử dụng khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó.

1.3. Định hướng tiếp cận

Cho đường thẳng a và mặt phẳng  . Để tính góc  giữa đường thẳng a và mặt phẳng

 , ta tiếp cận thông qua ý tưởng đơn giản khác như sau :

Bước 1: Tìm  O a    .

Bước 2: Tính    , sin d A

OA

 

Cách tiếp cận này thích hợp cho học sinh nắm chắc việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh hoạ với lời giải theo hướng tiếp cận sử dụng khoảng cách để tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

2. Ví dụ minh họa

2.1. Áp dụng cho các bài toán khối chóp.

Câu 1: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,   SA ABCD  . Gọi G là trọng

tâm tam giác ACD , I là trung điểm của SB . Biết độ dài các đoạn SA a  , 3 AB a  , 3

2

a AD  . Góc giữa đường thẳng IG và mặt phẳng   SCD bằng

A. 3 arcsin . 4 13

B. 3 arcsin . 13

C. 3 arcsin . 16 D. 3 arcsin . 16 Lời giải Chọn A

Có 2 SB a  nên tam giác SAI đều cạnh a .

Gọi H là trung điểm của SI thì BI BG BH BD  nên // IG HD, hay         , , IG SCD HD SCD 

Có 3 2 a AH  , 3

2

a AD  và tam giác AHD vuông tại A , suy ra 3 HD a 

Vì 1 4 HS BS  nên             1 1 1 , , , 4 4 4 d H SCD d B SCD d A SCD d   

H

G

I

C

A D

B

S



a

a'

H O

A



NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

Mà 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 13 9 9 d SA AD a a a      3

13

a d       3 ,

4 13

a d H SCD  

Suy ra         , 3 3 sin ,

4 13. 3 4 13

d H SCD a HD SCD HD a    .

Câu 2: Cho hình chóp đều .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a và 2 SA a  . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của SD và BO. Gọi là góc giữa đường thẳng MN

và mặt phẳng   SCD thì giá trị sin bằng

A. 3 3

7 . B. 2 3

7 . C. 4 3

7 . D. 3 7 .

Lời giải Chọn A

Ta có: SBD  là tam giác đều nên  60 SDB   và 6 2 a SO 

Suy ra

2 2 2 2 2 2 9 2 3 2 1 7 2 . cos60 2. . . 2 8 2 4 2 8 a a a a a MN MD ND MD ND       

14 4 a MN  

Mặt khác         3 , , 2 d N SCD d O SCD 

Mà    

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 14 3 3 , OC OD OS a a a a d O SCD       

           

2 2 3 42 3 42 , , , 14 14 28 a a a d O SCD d O SCD d N SCD      

    , 3 42 4 3 3 sin . 28 7 14

d N SCD a MN a      .

Câu 3: Cho …