Một số bài toán cực trị hình học trong không gian

Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp

Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 1 -

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1. Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước thoả mãn: Tổng của chiều dài và chiều rộng bằng 12cm ; tổng của chiều rộng và chiều cao là 24cm . Hỏi thể tích lớn nhất mà khối hộp có thể đạt được là bao nhiêu? A. 3 288cm . B. 3 384 3cm . C. 3 1782cm . D. 3 864cm . Câu 2. Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2;3;3;2 đôi một tiếp xúc nhau. Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

A. 7

15 . B. 3

7 . C. 6

11. D. 5

9 .

Câu 3. Cho hình chóp .S ABC có   SA ABC  , 2 SB a  , hai mặt phẳng   SAB và   SBC

vuông góc với nhau. Góc giữa SC và   SAB bằng 0 45 , góc giữa SB và mặt đáy bằng    0 0 90  . Xác định  để thể tích khối chóp .S ABC đạt giá trị lớn nhất.

A. 0 60  . B. 0 30  . C. 0 45  . D. 0 70  . Câu 4. Cho hình chóp . S ABC có   SA ABC  , 2 SB a  , hai mặt phẳng   SAB và   SBC

vuông góc với nhau. Góc giữa SC và   SAB bằng 45o , góc giữa SB và mặt đáy bằng

  , 0 90 o o     . Xác định  để thể tích khối chóp . S ABC lớn nhất.

A. 60o  . B. 30o  . C. 45o  . D. 70o  . Câu 5. Cho hình chóp . D S ABC có đáy D ABC là hình thang cân đáy AB , nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R . Biết rằng AC BD  tại I , đồng thời I là hình chiếu của S lên   ABCD và SAC  vuông tại S . Thể tích lớn nhất của khối chóp .S ABCD theo R

là

A. 3 R . B. 3 2 3 R . C. 3 1 2 R . D. 3 3 4 R

Câu 6. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng : 4 0 x y     , mặt cầu

  

2 2 2 1 : 1 1 S x y z     và mặt cầu      2 2 2 2 : 4 5 4. S x y z      Điểm A thuộc mặt

phẳng ,  điểm M thuộc mặt cầu   1S , điểm N thuộc mặt cầu   2 S . Khi dó

AM AN  nhỏ nhất bằng

A. 5. B. 8. C. 11. D. 3 2 .

Câu 7. Cho lăng trụ đứng . ABC A B C có  0 6; 12; 60 AB BC ABC    . Thể tích khối chóp . C ABB A  bằng 216. Gọi M là điểm nằm trong tam giác A B C sao cho tổng diện tích các mặt bên của hình chóp . M ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng B M  , AC?

A. 2 2 . B. 2 3 . C. 2 4 . D. 1

2 .

Câu 8. Trong không gian Oxyz cho hai mặt cầu   

2 2 2 1 : 4 16 S x y z     ,

  

2 2 2 2 : 4 36 S x y z     và điểm   4;0;0 A .Đường thẳng  di động và luôn tiếp xúc

với   1S đồng thời cắt   2 S tại hai điểm , B C . Tam giác ABC có thể có diện tích lớn

nhất là

A. 28 5. B. 72. C. 48. D. 24 5.

Tài liệu học thêm môn Toán 12 – ôn thi đại học Lớp Toán Thầy Nghiệp

Giáo viên giảng dạy: Phạm Văn Nghiệp Trang - 2 -

Câu 9. Cho hình chóp .S ABCD , có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng ( ) P chứa AM lần lượt cắt các cạnh , SB SD tại ' ' , B D . Giá trị lớn nhất của

' ' SB SD u SB SD   là

a b ,

* ( , ) a b N  tối giản. Tích .a b bằng:

A. 3. B. 12 . C. 15. D. 6 . Câu 10. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là điểm

thuộc đoạn SO sao cho 1 3 SI SO  . Mặt phẳng   thay đổi đi qua B và I .   cắt các

cạnh SA , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của .

.

S MBNP

S ABCD

V V . Giá trị của m n  là

A. 4

15 . B. 6

75 . C. 14

75 . D. 1

5 .

Câu 11. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 biết các mặt bên của

hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp SABC .

A. 3. B. 2 2 . C. 2 3 . D. 4. Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm       4;0;0 , 0;4;0 , 0;0; A B S c và

đường thẳng 1 1 1 : 1 1 2 x y z d      . Gọi , A B   lần lượt là hình chiếu vuông góc của

O lên , SA SB . Khi góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   OA B  lớn nhất,mệnh đề

nào sau đây đúng?

A.   8; 6 c  . B.   9; 8 c  . C.   0;3 c . D. 17 15 ; 2 2 c        

.

Câu 13. Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D . Điểm M nằm trên …