Chuyên đề trắc nghiệm thể tích khối lăng trụ

CHỦ ĐỀ 8: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức tính thể tích khối lăng trụ: . = V S h

Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ đứng

Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác dều cạnh a. Biết mặt phẳng (A'BC) tạo với

đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A.

3 2 3 4 a B.

3 3 8 a C.

3 3 3 8 a D.

3 3 3 4 a

Lời giải

Diện tích đáy cùa lăng trụ là

2 3 . 4 = ABC a S

Dựng , ⊥ AH BC có ( ) ′ ′ ⊥ ⇒ ⊥ BC AA BC A HA

Do đó: ( ) ( ) ( )   ; 60 ′ ′ = = ° A BC ABC A HA

Ta có: 3 3 tan 60 . 2 2 ′ = ⇒ = ° = a a AH A H AH

Thể tích khối lăng trụ là:

3 3 3 . . 8 ′ = = ABC a V S AA Chọn C

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng A C ′ tạo với

mặt phẳng ( ) BCC B′ ′ một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là

A.

3 15 5 a B.

3 6 8 a C.

3 15 8 a D.

3 6 4 a

Lời giải

Dựng A H B C ′ ′ ′ ⊥ ⇒H là trung điểm của B C ′ ′.

Mặt khác ( ) A H BB A H BCC B ′ ′ ′ ′ ′ ⊥ ⇒ ⊥ .

Khi đó   ( ;( )) 30 A C BCC B A CH ′ ′ ′ ′ = = °

Ta có: 3 sin30 3 2 a A C A H A C a ′ ′ ′ ° − − ⇒ =

Suy ra 2 2 2. AA A C AC a ′ ′ = − =

Thể tích khối lăng trụ là:

2 3 3 6 . . 2 4 4 ABC a a V S AA a ′ = = =

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông cân tại A có AB AC a = = . Biết

diện tích tam giác A BC ′ bằng

2 3 2 a . Thể tích khối lăng trụ đã cho là

A. 3 2a B. 3 a C. 3 3a D.

3

2 a

Lời giải

Diện tích đáy của lăng trụ là

2 . 2 ABC a S =

Dựng , AH BC ⊥ có ( ) . BC AA BC A HA BC A H ′ ′ ′ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Mặt khác 2 2 2 3 2 . 2

ABC S BC AB AC a A H a BC ′ = + = ⇒ = =

Do 2 2 2 . 2 2 BC a AH AA A H AH a ′ ′ = = ⇒ = − =

Thể tích khối lăng trụ là:

3 . . 2 ABC a V S AA′ = = Chọn D.

Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a = = ,  120 , BAC = °

mặt phẳng ( ) AB C ′ ′ tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A.

3 3 8 a V = B.

3 9 8 a V = C.

3

8 a V = D.

3 3 4 a V =

Lời giải

Gọi M là trung điểm của B C ′ ′

Khi đó  ( ) 60 B C A M B C A MA A MA B C AA

′ ′ ′ ⊥  ′ ′ ′ ′ ⇒ ⊥ ⇒ = °  ′ ′ ′ ⊥ 

Ta có: 2 2 2 2 2 2 cos120 3 3 BC a a a BC a = − ° = ⇒ =

2

2 3 3 tan 60 . 2 2 2 a a a A M a AA h A M   ′ ′ ′ = − = ⇒ = = ° =      

2 3 2 1 3 3 sin120 . . 2 4 8 ABC ABC a a S a V S AA′ = ° = ⇒ = = Chọn A.

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại A có 3 AB AC a = = . Biết

rằng 3 AA a ′ = và mặt phẳng ( ) A BC ′ tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. 3 6 a B. 3 6 6 a C. 3 2 6 a D.

3 2 6 3 a

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM BC ⊥

Mặt khác ( ) BC AA BC AA M ′ ′ ⊥ ⇒ ⊥

Do đó  60 A MA ′ = °. Khi đó tan 60 AA AM ′ = °

2 2 2 2. AM a BM AB AM a ⇒ = ⇒ = − =

Khi đó 2 1 . . 2 2. 2 ABC S BC AM BM AM a = = =

Do đó 2 3 . . . 3.2 2 2 6 ABC A B C ABC V AA S a a a ′ ′ ′ ′ = = = . Chọn C.

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác ABC vuông tại B có 3, . AB a BC a = =

Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng B M ′ tạo với đáy một góc 45 .° Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A.

3 3 2 a B.

3 6 2 a C.

3 3 4 a D.

3 6 6 a

Lời giải

Ta có: 2 2 2 AC AB BC a = + = .

Do vậy 2 AC BM a = = (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông).

Lại có:

2 1 3 . 2 2 ABC a S AB AC = =

Mặt khác: ( ) ( )   ; 45 . B M ABC B MB ′ ′ = = °

Suy ra tan 45 . BB BM a ′ = ° =

Vậy

3 3 V . . 2 ABC a BB S ′ = = Chọn A.

Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có tam giác ABC vuông tại B có 3 BC a = . Gọi M là trung

điểm của A C ′ ′ và I là giao điểm của A C ′ và AM. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ) ABC bằng 2a và

5 A B a ′ = . Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. 3 6a B. 3 2a C. 3 9a D. 3 18a

Lời giải