Chuyên đề trắc nghiệm tỉ số thể tích

CHỦ ĐỀ 9: TỈ SỐ THỂ TÍCH

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Chú thích 1 V = Thể tích cũ, 2 V =Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).

1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi)

a. Song song với đáy

1 2 1 . 3 V V Bh = =

b. Cắt đáy

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1. ; . ; 3 . 1 ; . ; . 3

đ

đ

d A P S d A P V IB V IA d B P d B P S = = =

2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)

1 1

2 2

V S V S = ;với 1S là diện tích đáy cũ; 2 S là diện tích đáy mới

Chú ý:

i. Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường

thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy

cũ và đáy mới.

ii. Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng

(hoặc giảm) 2 k lần.

iii. Tỉ số đa giác hay gặp là tỉ số diện tích của hai tam giác.

1 . . .sin 2 . . 1 . . .sin 2

AMN

ABC

AM AN A S AM AN S AB AC AB AC A

∆

∆ = =

3. Tỉ số thể tích của khối chóp

a. Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác

Công thức: .

. . . S A B C

S ABC

V SA SB SC V SA SB SC

′ ′ ′ ′ ′ ′ =

Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên

trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các

hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.

b. Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác

 Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD (hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng ( ) P

song song với đáy cắt các cạnh bên , , , SA SB SC SD lần lượt tại , , , A B C D ′ ′ ′ ′ .

Khi đó 3 .

.

S A B C D

S ABCD

V k V

′ ′ ′ ′ = ; với . . SA SB SC SD k SA SB SC SD ′ ′ ′ ′ = = .

Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác.

 Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)

Bài toán: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( ) P cắt các cạnh

, , , SA SB SC SD lần lượt tại , , , A B C D ′ ′ ′ ′ sao cho ; ; ; . SA SB SC SD x y z t SA SB SC SD ′ ′ ′ ′ = = = =

Khi đó 1 1 1 1 x z y t + = + và

.

.

1 1 1 1 4   = + + +    

S MNPQ

S ABCD

V xyzt V x y z t

4. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ

a. Lăng trụ tam giác

 Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối lăng trụ, 1 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, 2 V là thể

tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: 1 2 2 ; 3 3 V V V V = =

Ví dụ: Hình lăng trụ . . 1 2 . ; 3 3 A B BC ABC A B C A B ABC ABC A B C ABC A B C V V V V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → = =

 Kết quả 2:

Cho hình lăng trụ tam giác . ABC A B C ′ ′ ′ . Mặt phẳng ( ) α cắt các đường

thẳng , , AA BB CC ′ ′ ′ lần lượt tại , , M N P (tham khảo hình vẽ bên).

Tính tỉ số .

.

ABC MNP

ABC A B C

V V ′ ′ ′

.

HD: Ta có . . . ABC MNP M ABC A BNPC V V V = +

Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 . ; . . . ; . 3 3 M ABC ABC ABC AM V d M ABC S d A ABC S AA ∆ ∆ ′ = = ′

. . . 1 1 . . . . 3 3 ABC A B C M ABC ABC A B C AM AM V V V AA AA ′ ′ ′ ′ ′ ′ = → = ′ ′

Và ( ) . ; 2 BNPC h S BN CP = + ( ) . . 2 BCC B h S BB CC h BB ′ ′ ′ ′ ′ = + =

( ) . 1 1 2 . . 2 2

BNPC

BCC B

h BN CP S BN CP BN CP S h BB BB BB CC ′ ′

+ +     ⇒ = = = +     ′ ′ ′ ′    

Suy ra ( ) ( ) . 1. ; . 3 A BNPC BNPC V d A BCC B S ′ ′ =

( ) ( ) . 1 1 1 . ; . . . 3 2 2 BCC B A BCC B BN CP BN CP d A BCC B S V BB CC BB CC ′ ′ ′ ′     ′ ′ = + = +     ′ ′ ′ ′    

Mà . . . . 2 1. . 3 3 A BCC B ABC A B C A BNPC ABC A B C BN CP V V V V BB CC ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′   = ⇒ = +   ′ ′  

Vậy . . . . .

1 1 1 . . . . 3 3 3

ABC MNP ABC MNP ABC A B C ABC A B C ABC A B C

V AM BN CP AM BN CP V V V AA BB CC V AA BB CC ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

    = + + ⇒ = + +     ′ ′ ′ ′ ′ ′    

Công thức tính nhanh .

.

1 3

ABC MNP

ABC A B C

V AM BN CP V AA BB CC ′ ′ ′

  = + +   ′ ′ ′  

b. Khối hộp

 Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối hộp, 1 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai

đường chéo của hai mặt song song, 2 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở

các trường hợp còn lại. Khi đó: 1 2 ; 3 6 V V V V …