Một số ứng dụng hay về tỷ số thể tích trong việc giải toán trắc nghiệm

Chuyên đề: Tỉ số thể tích Trang 1/105

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn  0905193688

MỘT SỐ ỨNG DỤNG HAY VỀ TỶ SỐ THỂ TÍCH TRONG VIỆC GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

Từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo chuyển hướng sang thi trắc nghiệm, việc dạy và học môn toán cũng có sự thay đổi để đáp ứng đối với kì thi. Giáo viên phải dạy học sinh hiểu rõ bản chất và cách làm nhanh nhất để đi đến kết quả. Còn học sinh mong muốn mình giải quyết một bài toán với con đường đơn giản nhất và đáp số chính xác nhất. Sau đây tôi xin biên soạn lại một vấn đề rất hay gặp trong các kì thi thử và thi THPTQG, giúp các em học sinh giải quyết rất nhanh các bài toán liên quan đến thể tích khối đa diện.. I. KIẾN THỨC CƠ SỞ. +) Hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỷ số thể tích của chúng chính là tỷ số của đường cao và ngược lại. +) Với khối chóp tam giác ta có tính chất quen thuộc sau. Cho khối chóp tam giác .S ABC . Mặt phẳng ( ) P cắt các đường thẳng , , SA SB SC lần lượt

tại ', ', ' A B C . Khi đó ta có ( ) . ' ' '

.

' ' ' . . * . S A B C

S ABC

V SA SB SC V SA SB SC =

Chứng minh. Gọi , ' H H lần lượt là hình chiếu của , ' A A trên ( ) mp SBC .

. .

1 . . .sin 6 S ABC A SBC V V AH SB SC BSC = = và

'. ' '

1 ' '. '. '.sin ' ' 6 A SB C V A H SB SC B SC =

. ' ' '

.

' ' ' . . S A B C

S ABC

V AH SB SC V AH SB SC  =

Rõ ràng ' ' ' A H SA AH SA =

. ' ' '

.

' ' ' . . S A B C

S ABC

V SA SB SC V SA SB SC  =

Đây là kết quả quen thuộc và nó là bài toán mở đầu cho rất nhiều ứng dụng hay sau này.

\ II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT . 1. Tính chất 1. Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( ) P , , , SA SB SC SD lần lượt tại ', ', ', ' A B C D . Khi đó ta có

' ' ' ' SA SC SB SD SA SC SB SD + = +

Chứng minh.

Đặt . . . . . 2 S ABCD S ABC S ADC S BAD S BCD

V V V V V V V =  = = = =

S

A C

B

A’

C’

B’

H’

H

Chuyên đề: Tỉ số thể tích Trang 2/105

Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn  0905193688

Ta có . ' ' ' . ' ' ' ' ' ' . .

2

S A B C S A B C

SABC

V SA SB SC V

V V SA SB SC = = . ' ' ' ' ' ' . .

2

S A D C V SA SD SC V SA SD C và S =

( ) . ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . . . . 1

2 2

S A B C S A C D S A B C D SA SB SC SA SC SD V V V V V SA SB SC SA SC SD

+  + = =

Tượng tự ta có

( ) . ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . . . . 2

2 2

S B A D S B C D S A B C D SB SA SD SB SC SD V V V V V SB SA SD SB SC SD

+ + = =

Từ (1), (2)

( )

' ' ' ' ' ' . . . .

' ' ' ' ' ' . . . . 3

SA SB SC SA SC SD SA SB SC SA SC SD SB SA SD SB SC SD SB SA SD SB SC SD

 +

= +

Nhân vào hai vế của (3) với

. . . ' ' ' ' SA SB SC SD SA SB SC SD ta được

' ' ' ' SA SC SB SD SA SC SB SD + = +

Suy ra điều phải chứng minh.

Tính chất 1 ta chỉ áp dụng cho chóp có đáy là hình bình hành.

Việc chứng minh Tính chất 1 như trên là ta đã áp dụng tính chất (*). Tuy nhiên ta có thể chứng minh Tính chất 1 nhanh gọn như sau :

Gọi O là tâm hình bình hành, I là giao điểm của SO và ( ) ' ' ' ' A B C D .

Ta có ' ' ' ' 2 '. '. '. ' 2. . . .

SA I SC I SA C

SAO SCO SAC

S S S SA SI SC SI SA SC S S S SA SO SC SO SA SC + =  + = . Nhân cả hai vế của đẳng thức sau

cho . . '. '. SA SC SO SA SC SI ta được 2. ' ' SA SC SO SA SC SI + = . Chứng minh tương tự ta có 2. ' ' SB SD SO SB SD SI + = .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

*) Cách chứng minh này còn cho ta kết quả mạnh hơn là

S

A B

C D

O

I A’

B’

C’

D’