Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2025 - 2026 sở GDĐT Hà Nam

UBND TỈNH HÀ NAM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 02 trang

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn: TOÁN (Đề chung)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bùi Quỹ- Trung tâm GDNN-GDTX Duy Tiên Trang 1/5

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀTOÁN VÀO 10 HÀ NAM 2025

Câu 1. (2,5 điểm)

1. Giải hệphương trình

( 2x −y = −7 x + 2y = 4

2. Tìm tất cảcác điểm thuộc đồthịhàm sốy = 1

4x2 có tung độbằng 4.

3. Cho phương trình x2 −7x + 2 = 0.

(a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

(b) Không giải phương trình, tính giá trịbiểu thức

T = q

x2 1 + 2x1 + 1 + q

2x2 2 −x2 + 11

Hướng dẫn:

1. Giải hệphương trình:

( 2x −y = −7 (1) x + 2y = 4 (2) Nhân hai vếcủa phương trình (1) với 2 rồi cộng với phương trình (2)

được: 5x = −10 suy ra x = −2. Thếx = −2 vào phương trình (1) được y = 2x + 7 = −4 + 7 = 3. Vậy phương trình có nghiệm (−2; 3).

2. Tìm các điểm thuộc đồthịhàm sốy = 1

4x2 có tung độbằng 4

Tại các điểm có tung độbằng 4 tức là y = 4 = 1

4x2 suy ra x2 = 16. Do đó x = −4 hoặc x = 4. Vậy các điểm cần

tìm có tọa độ: (4; 4) và (−4; 4).

3. Cho phương trình x2 −7x + 2 = 0.

(a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Dễdàng tính được ∆= 49 −8 = 40 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

(b) Không giải phương trình, tính giá trịbiểu thức

T = q

x2 1 + 2x1 + 1 + q

2x2 2 −x2 + 11

Xét x2 1 + 2x1 + 1 = (x1 + 1)2 nên q

x2 1 + 2x1 + 1 = q

(x1 + 1)2 = |x1 + 1|.

Xét 2x2 2 −x2 + 11 = (x2 2 −7x2 + 2) + (x2 2 + 6x2 + 9) = (x2 + 3)2

nên q

2x2 2 −7x2 + 11 = q

(x2 + 3)2 = |x2 + 3|.

Vậy T = q

x2 1 + 2x1 + 1 + q

2x2 2 −x2 + 11 = |x1 + 1| + |x2 + 3|

Do x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 −7x + 2 = 0 nên x1 + x2 = 7; x1x2 = 2. Lại có tổng và tích của x1, x2 đều dương nên x1 > 0; x2 > 0 suy ra |x1 + 1| = x1 + 1 và |x2 + 3| = x2 + 3. Suy ra T = x1 + 1 + x2 + 3 = 7 + 4 = 11.

Câu 2. (1,0 điểm) Cho biểu thức P = √x + 1 √x −1 − √x −1 √x + 1 − 8 x −1

· x −1 √x , với x > 0 và x ̸= 1.

1. Rút gọn biểu thức P.

Bùi Quỹ- Trung tâm GDNN-GDTX Duy Tiên Trang 2/5

2. Tìm tất cảcác sốnguyên x sao cho |P| + P = 0.

Hướng dẫn: Cho biểu thức P = √x + 1 √x −1 − √x −1 √x + 1 − 8 x −1

· x −1 √x , với x > 0 và x ̸= 1.

1. Rút gọn biểu thức P.

P = √x + 1 √x −1 − √x −1 √x + 1 − 8 x −1

· x −1 √x

= (√x + 1)2

(√x −1)(√x + 1) − (√x −1)2

(√x −1)(√x + 1) − 8 x −1

· x −1 √x

= (x + 2√x + 1) −(x −2√x + 1) −8

x −1 · x −1 √x

= 4√x −8 √x

= 4 −8 √x

2. Tìm tất cảcác sốnguyên x sao cho |P| + P = 0.

Để|P| + P = 0 thì P < 0 hay 4 −8 √x ≤0 suy ra 4 ≤ 8 √x nên √

x ≤2. Khi đó các giá trịnguyên của x thỏa mãn

yêu cầu bài toán là x ∈{2; 3; 4} (vì x ̸= 1).

Câu 3. (1,0 điểm) Một công ty vận tải Y dựđịnh sửdụng một đoàn xe đểchở80 tấn hàng hóa. Trước khi khởi hành, do phát sinh công ty Y phải chởthêm 4 tấn hàng hóa nữa, vì thếcông ty đã điều thêm 2 xe cung tham gia vận chuyển nên tất cảcác xe đều chởgiảm đi 1 tấn hàng hóa so với ban đầu. Hỏi công ty Y dựđịnh sửdụng bao nhiêu xe, biết rằng tất cảcác xe công ty sửdụng cùng chủng loại và chởcùng khối lượng?

Hướng dẫn: Gọi sốxe ban đầu công ty dựđịnh dùng là x (x ∈N∗).

Suy ra mỗi xe dựđịnh chở80

x (tấn hàng).

Sau khi tăng thêm 2 xe thì sốxe công ty sửdụng là x + 2.

Suy ra mỗi xe chởthực tếlà 84 x + 2.

Từđềbài ta có phương trình 80

x −1 = 84 x + 2 (∗)

(∗) ⇔80(x + 2) −x(x + 2) = 84x hay x2 + 6x −160 = 0. Giải phương trình được x = 10 hoặc x = −13. Vì x là số nguyên dương nên x = 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4. (1,5 điểm)

1. Điều tra thời gian tựhọc của 20 học sinh trong một ngày, thu được bảng tần sốsau:

Thời gian tựhọc (giờ) 1 2 3 4 5 Cộng Tần số(n) 5 4 6 3 2 N = 20

(a) Lập bảng tần sốtương đối của bảng tần sốtrên.

(b) Tính tỉlệphần trăm sốhọc sinh có thời gian tựhọc ít nhất 3 giờtrong mỗi ngày.

2. Một hộp có 20 chiếc thẻcùng loại, mỗi chiếc thẻđược ghi một trong các số1, 2, 3,..., 20, hai thẻkhác nhau được ghi hai sốkhác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻtrong hộp trên …