Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 - 2026 sở GDĐT Tuyên Quang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TUYÊN QUANG

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2025 – 2026 Môn thi: Toán chuyên

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức ( ) 2 3 1 13 4 3

. 29 12 5 2 5 A

− + = + −

2. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2 . xy x y = + Chứng minh rằng:

a) 1; xy ≥

b) ( )

2 2 2 1 1 8. x y x y + + + ≥ − +

Câu 2 (2,5 điểm) 1. Cho phương trình 2 ( 1) 4 0 (1), x m x m − + + − = với m là tham số. a) Giải phương trình (1) với 1. m = b) Tìm m để phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn

( )( ) 2 2 1 1 2 2 2. x mx m x mx m − + − + =

2. Giải hệ phương trình

2 2

3 2 8 12 . 2 12 0

x y

x xy y

 + =  + + = 

Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC ( AB AC < ) nội tiếp ( ). O Kẻ đường kính AD của ( ); O AD cắt BC ở ; E đường cao AH của tam giác ABC cắt ( ) O ở F khác .A Gọi K là hình chiếu của D trên ; BC FK cắt ( ) O ở I khác . F

a) Chứng minh rằng . FH DK =

b) Gọi J là giao điểm của AK và . EI Chứng minh rằng . . . JE JI JA JK =

c) Tiếp tuyến tại A của ( ) O cắt BC ở .S Chứng minh rằng , SD EI và ( ) O cùng đi qua một điểm.

Câu 4 (1,5 điểm) 1. Cho hai hộp đựng thẻ: hộp I gồm 5 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, 5; hộp II gồm 5 thẻ được đánh số 6, 7, 8, 9, 10 (các thẻ khác nhau được đánh số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ở mỗi hộp một thẻ, tính xác suất để tích hai số trên các thẻ rút được là số chẵn.

2. Cho đa thức

2 ( ) . f x ax bx c = + + Mỗi lần thay đa thức này bởi một trong hai đa thức 2 cx bx a + +

hoặc

2 ( ) (2 ) . a b c x a b x a + + + + + Nếu cho đa thức

2 ( ) 4 3 f x x x = + + thì sau một số lần thay đổi có

được đa thức

2 ( ) 10 9 g x x x = + + không? Vì sao?

Câu 5 (1,0 điểm). Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:

a) 4 3 1 p p A = − − chia hết cho 3 .p

b) 4 3 1 p p A = − − chia hết cho 39 .p

-----HẾT-----

Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………….………………Số báo danh:……………..

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2025-2026

Môn: Toán chuyên (Hướng dẫn này có 04 trang)

----------

Câu 1 (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức ( ) 2 3 1 13 4 3 . 29 12 5 2 5 A − + = + −

Hướng dẫn chấm Điểm

Ta có:

13 4 3 12 4 3 1 2 3 1. + = + + = +

29 12 5 20 12 5 9 2 5 3. + = + + = +

0,5

( ) ( )( ) 2 3 1 13 4 3 2 3 1 2 3 1 12 1 11. 3 3 2 5 3 2 5 29 12 5 2 5 A − + − + − = = = = + − + −

0,5

2. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2 . xy x y = + Chứng minh rằng:

a) 1; xy ≥

b) ( )

2 2 2 1 1 8. x y x y + + + ≥ − +

Hướng dẫn chấm Điểm

a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 2 . xy x y xy = + ≥ 0,25

Vì , 0 x y > nên 1 1. xy xy ≥⇔ ≥ 0,25

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 8 2 1 6 2 . x y x y x y x y x y xy + + + + + ≥ − + ⇔ + + + ≥ −

0,25

Nếu 6 2 0 xy − < thì bất đẳng thức đúng, ngược lại thì

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 6 8 0 4 8 0 x y x y xy x y xy x y xy + + + ≥ − ⇔ + + − ≥ ⇔ + + − ≥

( )( ) 2 ( ) 2 0 1 2 0, xy xy xy xy ⇔ + − ≥ ⇔ − + ≥ luôn đúng vì 1. xy ≥

0,25

Câu 2 (2,5 điểm)

1. Cho phương trình 2 ( 1) 4 0 (1), x m x m − + + − = với m là tham số. a) Giải phương trình (1) với 1. m = b) Tìm m để phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn

( )( ) 2 2 1 1 2 2 2. x mx m x mx m − + − + =

Hướng dẫn chấm Điểm