Đề khảo sát Toán (chuyên) thi vào 10 năm 2025 - 2026 trường chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10

THPT CHUYÊN LAM SƠN

Năm học: 2025 – 2026 Môn thi: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Ngày thi: 06/4/2025

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm).

a) Cho ba số , , a b c khác 0 thỏa mãn 1 1 1 0 a b c + + = , tính giá trị biểu thức

2 2 2 ab bc ca A c a b = + + .

b) Cho đa thức ( ) P x với hệ số nguyên, chứng minh rằng không tồn tại ba số nguyên phân biệt

, , a b c sao cho ( ) ( ) ( ) , , P a b P b c P c a = = = .

Câu 2 (1,0 điểm).

Xét hệ phương trình:

2

2 ( )

( )

y x y m

x x y m

 − + =  − + = 

(với m là tham số), tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Câu 3 (1,0 điểm). Có 10 bạn (trong đó chỉ có một bạn tên An và một bạn tên Bảo) xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc, tính xác suất để trong đó nhất thiết có 2 bạn An và Bảo phải đứng cạnh nhau. Câu 4 (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn tính chất ( ) 2 1 n n + .

b) Cho p là số nguyên tố, chứng minh phương trình

2 4 2 x x p y y + = +

không có nghiệm nguyên

dương. Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC < ) nội tiếp đường tròn ( ) O , ngoại tiếp đường tròn ( )I . Đường thẳng đi qua I vuông góc với AI cắt BC tại T . a) Chứng minh TI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC . b) AI cắt lại ( ) O tại D ( D khác A), đoạn TI cắt ( ) O tại Q , QD cắt BC tại P. Chứng minh

rằng 2 . . IP PB PC = c) Gọi , E F là tiếp điểm của ( )I theo thứ tự với , AC AB và N là trung điểm EF . Chứng minh

rằng  BNC tù. Câu 6 (1,0 điểm). Trên bảng có viết 2025 số nguyên dương từ 1 đến 2025. Mỗi lần ta được phép xóa đi 2 số ,a b

tùy ý có trên bảng và thay bởi số a b − . Thực hiện cho tới khi trên bảng chỉ còn đúng một số là

m. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của m.

………………………….. Hết …………………………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: .......................... Chữ kí của giám thị số 1: ……………………………………..….Chữ kí của giám thị số 2:………………

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10

THPT CHUYÊN LAM SƠN

Năm học: 2025 – 2026 Môn thi: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Ngày thi: 06/4/2025

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho ba số , , a b c khác 0 thỏa mãn 1 1 1 0 a b c + + = , tính giá trị biểu thức

2 2 2 ab bc ca A c a b = + + .

b) Cho đa thức ( ) P x với hệ số nguyên, chứng minh rằng không tồn tại ba số nguyên phân biệt

, , a b c sao cho ( ) ( ) ( ) , , P a b P b c P c a = = = .

Giải

a) Từ đẳng thức 3 3 3 2 2 2 3 ( )( ), x y z xyz x y z x y z xy yz zx + + − = + + + + − + + với 0 x y z + + =

thì 3 3 3 3 x y z xyz + + = .

Vì 1 1 1 0 a b c + + = nên 3 3 3 1 1 1 3 abc a b c + + = 2 2 2 3 ab bc ca A c a b ⇒ = + + = , vậy 3 A = .

b) Giả sử tồn tại ba số nguyên phân biệt , , a b c sao cho ( ) ( ) ( ) , , P a b P b c P c a = = = , không mất

tính tổng quát nếu giả sử b là số lớn nhất (b > a, b > c). Khi đó ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P a P b a b

P b P c b c

P c P a c a

 − −  − −   − − 







( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0

b c a b

c a b c

a b c a

≠ − −  ⇒ ≠ − −  ≠ − − 







b c a b

c a b c

a b c a

 − ≥ −  ⇒ − ≥ −   − ≥ − 

a b c a b c a b ⇒ − ≥ − ≥ − ≥ −

a b c a b c ⇒ − = − = − a b b c ⇒ − = − b a b c a c ⇒ − = − ⇒ = vô lý. Vậy không tồn tại ba số nguyên phân biệt , , a b c thỏa mãn đề bài. Câu 2 (1,0 điểm).

Cho hệ phương trình:

2

2 ( )

( )

y x y m

x x y m

 − + =  − + = 

(với m là tham số), tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Giải Nhận xét nếu ( ) 0 0 , x y là một nghiệm của hệ thì ( ) 0 0 , y x cũng là một nghiệm của hệ. Nếu hệ có

nghiệm duy nhất thì 0 0 x y = , từ hệ suy ra phương trình: 2 2 0 x x m − − = . Do hệ có nghiệm duy nhất nên phương trình trên phải có nghiệm duy nhất.

' 1 0 m …