Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 trường THCS Nguyễn Trãi - Nghệ An

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2025 - 2026

Môn thi: Toán học 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm )

a) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng 3 1 3 1 2 2 1 n n A      là hợp số

b) Tìm một số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi ta thêm vào mỗi chữ số của nó 1 đơn vị thì được số mới cũng là số chính phương.

Câu 2 (4,0 điểm )

a) Giải phương trình:

4 4 3 1 1 2 2 x x                

b) Giải hệ phương trình 5

2

3

3

2 2 1 x y

x y x y

       

Câu 3 ( 3,0 điểm )

a, Bác An để 10 triệu đồng trong tài khoản ngân hàng. Vào cuối mỗi năm, ngân hàng trả lãi 3% vào tài khoản cho bác ấy, nhưng sau đó sẽ tính phí duy trì tài khoản hằng năm là 80 nghìn đồng. Hỏi sau 3 năm số dư trong tài khoản này của bác An là bao nhiêu? Gọi m là số tiền ban đầu trong tài khoản của bác An. Viết công thức tính số tiền dư trong tài khoản của bác An sau 10 năm theo m.

b, Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có chiều dài là 50 cm và chiều rộng là 30 cm. Bạn Linh cắt ở mỗi góc một tấm bìa hình vuông cạnh x (cm) và xếp phần còn lại thành một hình hộp không nắp. Tìm x để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất

Câu 4 (7 điểm ):

Cho ABC  vuông tại ,A   2 BC a cm  . Đường cao AH . Gọi , D E lần lượt là hình chiếu của H

trên , AC AB. Chứng minh rằng :

a) 2 . . AB EB AC EH AB  

b) Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với , AC qua điểm C vẽ đường thẳng song song với

AB , hai đường thẳng này cắt nhau tại M . Gọi N và K lần lượt là trung điểm của BM và HC .

Chứng minh AK vuông góc với KN .

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE .

Câu 5 (1 điểm). Mỗi điểm trên mặt phẳng đều được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm được tô cùng một màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1.

Câu 6 ( 2,0 điểm): Hai bạn Minh và Huy chơi một trò chơi như sau: Minh chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp{5; 6; 7; 8; 9; 10}; Huy chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp{4; 5; 7; 8; 9; 11}. Bạn nào chọn được số lớn hơn sẽ là người thắng cuộc. Nếu hai số chọn được bằng nhau thì kết quả là hòa. Tính xác suất của biến cố A: “Bạn Minh thắng”

.........................Hết..........................

Hướng dẫn chấm

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 (3,0 điểm ) a) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng 3 1 3 1 2 2 1 n n A      là hợp số b) Tìm một số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi ta thêm vào mỗi chữ số của nó 1 đơn vị thì được số mới cũng là sốchính phương

1

(3,0)

a

1,5

Ta có: 3 1 3 1 2 2 1 n n A      nên

    3 2 3 3 3 2 2 2 2 4. 2 2 2 5.8 2 n n n n n A        

Vì 8 1(mod 7)  nên 8 1(mod7) n  , suy ra 5 2 0(mod 7) A    hay 7 A .

Mặt khác ta chứng minh được 7 A  nên Alà hợp số

1,5

b

1,5

Gọi số đó là , 0 abcd a , a,b,c,d là chữ số Do abcd là số chính phương nên 2, abcd x x N   Khi thêm vào mỗi chữ số của nó 1 đơn vị thì cũng được 1 số chính phương nên 2 ( 1)( 1)( 1)( 1) , a b c d y y N      

2 2 11.101 y x   

0,5

Suy ra: ( )( ) 11.101 y x y x    . Mà y – x < y +x 11 45 101 56 y x x y x y              

Vậy số cần tìm là 452 = 2025.

1,0

Câu 2 (4 điểm )

a) Giải phương trình

4 4 3 1 1 2 2 x x                

b) Giải hệ phương trình 5

2

3

3

2 2 1 x y x y x y

       

a

2,0

Đặt 1 t x   khi đó phương trình đã cho trở thành:

4 4 1 1 1 2 2 t t                

4 2 1 1 2 12 . 2. 1 4 16 t t    

4 2 7 2 3 0 8 t t    

0,5