Đề thi Olympic Toán THCS năm 2025 - 2026 trường THPT chuyên Thái Nguyên

SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

(Đề thi gồm có 01 trang)

KÌ THI OLYMPIC CÁC MÔN CHUYÊN

DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 8, LỚP 9

NĂM HỌC 2025 – 2026

ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (1,0 điểm) Giải phương trình 2 2 1 2 3 x x x   

Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số thực , m n để phương trình 2 5 3 0 x mx n    có hai nghiệm

thực phân biệt , 0 a b và phương trình 2 2 0 x mx n    có hai nghiệm thực a , b .

Câu 3. (1,0 điểm) Tồn tại hay không đa thức  P x thỏa mãn dư của phép chia đa thức  P x

cho các đa thức 2 7 10 x x   và 2 5 6 x x   lần lượt là 2 1 x  và 7 x  ?

Câu 4. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn 4 2 15 25 n n   là số nguyên tố. b) Cho các số nguyên , , a b c thỏa mãn cả ba số

      3 3 3 2 3 3 ; 2 3 3 ; 2 3 3 A a bc a b c B b ca b c a C c ab c a b            

đều chia hết cho 11. Chứng minh rằng cả ba số , , a b c cùng chia hết cho 11.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , a b c thay đổi, thỏa mãn 3. a b c    Chứng minh

  4 4 4 18 7 a b b c c a ab bc ca       .

Câu 6. (1,0 điểm) Gieo ngẫu nhiên đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Tích các số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn tổng của chúng”.

Câu 7. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, có AB AC  , có các đường cao , . BE CF

Đường tròn  I nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh , , BC CA AB lần lượt tại các điểm , , D U V . Giả

sử đường thẳng DI cắt các đường thẳng , AC AB lần lượt tại các điểm , . M N

a) Chứng minh rằng các tứ giác BDEM và CDFN là tứ giác nội tiếp. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường thẳng AB tại điểm . K B  Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt đường thẳng AC tại điểm . H C  Chứng minh rằng tứ giác

HKMN là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra . HK EF  c) Đường thẳng HK lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDE ,CDF lần lượt tại

các điểm , X Y (với X K  và Y H  ). Gọi J là giao điểm của các đường thẳng YV và

XU . Chứng minh rằng J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DXY .

------------------------------ Hết ------------------------------

SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)

KÌ THI OLYMPIC CÁC MÔN CHUYÊN

DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 8, LỚP 9

NĂM HỌC 2025 – 2026

ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

ĐKXĐ: 3 x  0,25 Ta viết lại phương trình đã cho:

2 2 1 2 3 x x x   

2 2 1 2 2 3 2 x x x   

     2 4 2 1 2 2 3 1

2 2 1 2 3 1

x x x

x x x

        

  2 2 4 4 2 2 1 2 3 1

x x x x x x

      

    2 4 4 0 3 1 2 2 1 2

x x x

x x x

       

  2 4 0 3 1 2 2 1 2 x x

x x x             

0,25

Xét 4, x  ta có 2 0 3 1 2 2 1 2 x x x x       , không xảy ra vì 3 x . 0,25

Xét 4 x  ta thấy thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 4 x . 0,25

Câu 2

Từ giả thiết và theo định lí Vietè, ta có

 5 a b m   ,  3 ab n  ,

 2 a b m   ,

 ab n .

Vì 0 a  và 0 b  nên 0 m  và 0 n  .

0,25

Từ 3 ab n  và ab n , ta có 2 3 n n  , mà 0 n  nên 3 n . 0,25

Từ 2 a b m   và 5 , a b m  ta có: 2 2 4 a b ab m   2 5 6 4 m m    2 4 5 6 0 m m   

0,25