Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 - 2025 sở GDĐT TP Hồ Chí Minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2024-2025

MÔN: TOÁN Ngày thi: 14/03/2025 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (4 điểm)

1. Cho 2 số a, b thỏa a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức 3 3 9 M a b ab    2. Giải phương trình: 2025 16 3 41 x x    

Câu 2: (6 điểm)

1. Thầy Bình chấm bài kiểm tra Toán lớp 9A có 45 bạn, sót bạn An nên điểm trung bình là

7,55. Sau đó chấm bổ sung được 7,56. Tính điểm bạn An. 2. Ông Năm có cuộn dây 100m làm rào chắn cho hồ cá dạng hình chữ nhật, biết rằng ông

Năm không rào cả mặt tiếp xúc bờ. Tìm cách rào sao cho diện tích hồ cá đạt giá trị lớn nhất. 3. Ba bạn Phúc, Lộc, Thọ lần lượt viết lên bảng các số tự nhiên từ 1 đến 9 sao cho số người

trước không trùng số người sau. Tính xác suất số bạn Phúc chia hết cho số bạn Lộc, số bạn Lộc chia hết cho số bạn Thọ.

Câu 3: (5 điểm)

1. Cho tam giác ABC nhọn, lấy điểm P thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho

  PAC PBC  . Từ P kẻ PM  BC tại M, PK  AC tại K. Gọi D là trung điểm AB. Chứng minh: DM = DK. 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R). Lấy điểm M thuộc cung BC, từ M kẻ MP, MQ, MR

lần lượt vuông góc với AB, BC, CA tại P, Q, R. a) Chứng minh: P, Q, R thẳng hàng. b) Kẻ CS  AM tại S, CE  AB tại E. Chứng minh: PQ = ES

Câu 4: (3 điểm)

1. Cho số tự nhiên n cộng thêm với 26, tiếp đó thêm 3 chữ số vào bên phải của số đã cho.

Biết rằng sau khi thêm, số đó là tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Tìm n và 3 chữ số đã thêm. 2. Cho tập hợp   1;2;3...;100 X  . Hỏi sẽ lấy ra ít nhất bao nhiêu số sao cho chắc chắn: a. “Trong các số đã lấy có 5 số tự nhiên liên tiếp” b. “Trong các số đã lấy có 2 số có tổng chia hết cho 5”

Câu 5: (2 điểm)

Cho đa thức    2 , P x x ax b a b    . Biết rằng đa thức P(x) sẽ gọi là đa thức“tốt” nếu P(x) thỏa mãn có ít nhất một nghiệm nguyên và trị tuyệt đối của a và b không vượt quá 2025.

a) Chứng minh rằng nếu P(x) là đa thức “tốt” thì P(-x) cũng là đa thức “tốt”. b) Gọi S(x) là tổng của các đa thức “tốt”. Chứng minh S(x) không có nghiệm thực.

-HẾT-

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (4 điểm)

1. Cho 2 số a, b thỏa a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức 3 3 9 M a b ab   

    3 3 3 3 9 3 9 3 3 .3 9 27 M a b ab a b ab a b ab ab ab             .

2. Giải phương trình: 2025 16 3 41 x x    

2025 16 3 41 x x     ĐK: 16 2025 3 x   

  

2 2025 16 3 2 2025 16 3 41 x x x x       

   2 2025 16 3 360 2 x x x     ĐK: 180 x 

  

2 2 4 2025 16 3 4 1440 360 x x x x     

2 16 22796 0 x x  

0 x  hoặc 5699

4 x  

Thử lại: nhận 0 x  , loại 5699

4 x  

Vậy: x=0 là nghiệm của phương trình.

Câu 2: (6 điểm)

1. Thầy Bình chấm bài kiểm tra Toán lớp 9A có 45 bạn, sót bạn An nên điểm trung

bình là 7,55. Sau đó chấm bổ sung được 7,56. Tính điểm bạn An.

Tổng số điểm của 44 bạn (không có An) là: 7,55.44 = 332,2 điểm

Điểm An là: 7,56.45 – 332,2 = 8 điểm.

2. Ông Năm có cuộn dây 100m làm rào chắn cho hồ cá dạng hình chữ nhật, biết rằng

ông Năm không rào cả mặt tiếp xúc bờ. Tìm cách rào sao cho diện tích hồ cá đạt giá trị lớn nhất. Giả sử, cái ao cá hình chữ nhật ông Năm muốn rào có dạng như hình vẽ Diện tích cái ao   100 2 S x x  

  

2 2 100 2 2 2 100 2 2500 2 x x S x x            

 1250 S  Dấu “=” xảy ra khi 2 100 2 25 x x x     Vậy: ông Năm cần rào một cái ao có chiều rộng là 25m, chiều dài song song với bờ 50m thì diện tích cái ao đạt GTLN là 1250 m2. 3. Ba bạn Phúc, Lộc, Thọ lần lượt viết lên bảng các số tự nhiên từ 1 đến 9 sao cho số

người trước không trùng số người sau. Tính xác suất số của bạn Phúc chia hết cho số của bạn Lộc, số của bạn Lộc chia hết cho số của bạn Thọ.  Bạn thứ nhất có 9 cách chọn để viết số  Bạn thứ hai có 8 cách chọn để viết số

100 - 2x

x x bờ