Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2024 - 2025 sở GDĐT Bà Rịa - Vũng Tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 – 2025

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài thi: 150 phút

Ngày thi: 04/3/2025

Câu 1 (3,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức 10 3 2 1 4 6 3 2 x x x x x P x x x x x − + + + = + − − + − + + với 0 x ≥ và 4 x ≠ .

b) Tính giá trị của biểu thức 3 13 4 10 17 2 11 5 Q = + − + . Câu 2 (4,0 điểm):

a) Giải phương trình 2 2 4 13 10 2 1 9 6 x x x x x + + − + + = + b) Cho phương trình ( ) 2 2 2 1 4 0 x m x m − + + + = (1).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa

mãn ( ) 2 2 1 2 2 1 3 16 0 x m x m + + − − ≤.

Câu 3 (4,0 điểm):

a) Tìm tất cả số nguyên tố p và cặp số tự nhiên ( ) ;x y sao cho

2 2

2 2 3 2 3 5

p x p y x

− + = + + .

b) Cho hai hộp kín, hộp thứ nhất chứa 8 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 8, hộp thứ hai chứa 12 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Các thẻ có kích thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất chọn được hai thẻ mà tích của hai số trên thẻ là một số chia hết cho 7 . Câu 4 (5,0 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC < , đường tròn ( ) O đường kính BC cắt AB tại F ,

cắt AC tại E . Gọi K là giao điểm của EF và BC , gọi H là giao điểm của BE và CF , đường thẳng AH cắt BC tại D , đường thẳng FD cắt đường tròn ( ) O tại ( ) M M F ≠ .

a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh BC là đường phân giác của  EBM và . . KF DM KM DF = . c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AK tại ( ) P P A ≠ , cắt ED tại ( ) Q Q E ≠ . Chứng minh ba điểm , , P Q C thẳng hàng. Câu 5 (4,0 điểm):

a) Xét các số thực , , x y z thỏa mãn 0, 0 x y ≥ ≥, 2 z ≥− và 2 2 2 1 0 x y z + + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 10 4 T x xy xyz = + + . b) Cho tập hợp { } 1;2;3;...;2025 X = . Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho với mọi cách

lấy k phần tử bất kỳ thuộc X thì luôn tồn tại hai phần tử , a b ( ) a b > trong k phần

tử được lấy mà a b + chia hết cho a b −.

------- HẾT -------

Họ và tên thí sinh:................................................. Số báo danh:..........................................................

Chữ ký giám thị số 1:.................................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 – 2025

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN LỚP 9 (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Nội dung Điểm

1.a Rút gọn biểu thức 10 3 2 1 4 6 3 2 x x x x x P x x x x x − + + + = + − − + − + +

với 0 x ≥ và 4 x ≠ . 1,5

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

+ + − = + − − + − + + +

2 3 1 10

2 2 2 3 2 1

x x x x

x x x x x x

0,5

( )( )

− + = + − − + − +

10 1

2 2 2 2

x x x

x x x x

( ) ( )( ) ( )( )

− + + − + − = − +

10 2 1 2

2 2

x x x x x

x x

0,5

( )( )

− = − +

4 8

2 2

x

x x

= +

4

2 x

0,5

1.b Tính giá trị của biểu thức 3 13 4 10 17 2 11 5 Q = + − + . 1,5

( )

2 13 4 10 5 4 10 8 5 2 2 5 2 2 + = + + = + = + 0,75

( )

3 3 3 3 17 2 11 5 2 2 6 5 15 2 5 5 2 5 2 5 + = + + + = + = + 0,5

3 13 4 10 17 2 11 5 2 Q = + − + = 0,25

2.a Giải phương trình 2 2 4 13 10 2 1 9 6 x x x x x + + − + + = + 2,0

Đặt

2

2 4 13 10

1

u x x

v x x

= + +  = + + 

điều kiện , 0 u v ≥ 0,25

Tính được 2 2 4 9 6 u v x − = + 0,25

Đưa PT về dạng ( )( ) 2 2 2 2 4 2 2 1 0 2 1

u v u v u v u v u v u v

=  − = − ⇔ − + − = ⇔+ = 

0,5

Giải PT 2 u v = tìm được nghiệm 2 3 x = − 0,5

Giải PT 2 2 2 1 4 13 10 2 1 1 u v x x x x + = ⇔ + + + + + = (1)

Chứng minh

2 2 1 3 2 1 2 3 2 4 x x x   + + = + + ≥    

suy ra PT (1) vô nghiệm

0,5

2.b

Cho phương trình ( ) 2 2 2 1 4 0 x m x m − + + + = (1).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 , x x

thỏa mãn ( ) 2 2 1 2 2 1 3 16 0 x m x m + + − − ≤ .

2,0

Tính được 2 3 m ′ ∆= − 0,25