Đề thi Olympic chuyên Toán THCS lần 2 năm 2025 trường chuyên Hạ Long - Quảng Ninh

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠLONG

(Đềthi có 01 trang)

ĐỀTHI OLYMPIC CÁC MÔN CHUYÊN

DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨII, NĂM 2025

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian giao đề

Câu 1: (4 điểm)

a. Cho hai sốthực phân biệt a, b ̸= 0, thỏa mãn

a2 + 2ab = 3b2.

Tính giá trịbiểu thức P = (a + b)(a + 2b)

(a −b)(a −2b).

b. Giải hệphương trình:

 

 3x(x + y −2) = 2y

y(x + y −1) = 9x .

Câu 2: (4 điểm)

a. Cho ba sốthực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 3. Chứng minh rằng: a 1 + b2 + b 1 + c2 + c 1 + a2 ≥3

2.

b. Cho một chiếc hộp trong đó có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng, các viên bi được coi

là khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi, sao cho các viên bi lấy ra có đủcả3 màu?

Câu 3: (7 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Kẻcác đường cao BE, CF cắt nhau tại H với

E ∈AC, F ∈AB. Trung trực của đoạn thẳng HB cắt cạnh BC tại M. Trung trực của đoạn thẳng HC

cắt cạnh BC tại N. Đường tròn (M; MB) cắt cạnh AB tại điểm J khác B. Đường tròn (N; NC) cắt cạnh

AC tại điểm I khác C.

a. Chứng minh rằng các điểm I, J, B, C cùng thuộc một đường tròn.

b. Gọi P là giao điểm khác H của (M; MB) và (N; NC). Chứng minh rằng P là giao điểm khác A của

AH và (O).

c. Lấy Q là giao điểm khác C của đường tròn ngoại tiếp tam giác PFC và AC. Chứng minh rằng Q

là trung điểm của AI.

Câu 4: (4 điểm)

a. Chứng minh rằng nếu bội chung nhỏnhất và ước chung lớn nhất của hai sốnguyên dương a, b đều

là các sốchính phương thì a, b cũng là các sốchính phương.

b. Tìm tất cảcác sốnguyên dương x đểA = 4x3 + 9x2 −10x −15 là sốchính phương.

Câu 5: (1 điểm) Cho 20 điểm phân biệt gồm 10 điểm màu xanh và 10 điểm màu đỏtrên mặt phẳng,

trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thểdùng 10 đoạn thẳng nối mỗi điểm

xanh với một điểm đỏtương ứng sao cho 10 đoạn thẳng này đôi một không có điểm chung.

———— HẾT ————

Thí sinh không được sửdụng tài liệu. Cán bộcoi thi không giải thích gì thêm.

1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠLONG

(Hướng dẫn có 5 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC CÁC MÔN CHUYÊN

DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨII

Môn thi: Toán

Câu Sơ lược lời giải Điểm

1(4,0đ) a. Cho hai sốthực phân biệt a, b ̸= 0, thỏa mãn

a2 + 2ab = 3b2.

Tính giá trịbiểu thức P = (a + b)(a + 2b)

(a −b)(a −2b).

Biến đổi tương đương: a2 + 2ab = 3b2 ⇔(a −b)(a + 3b) = 0 ⇔



a = b

a = −3b .

Kết hợp giảthiết, loại trường hợp a = b, ta còn lại a = −3b.

1

thay vào P:

P = (a + b)(a + 2b)

(a −b)(a −2b) = (−3b + b)(−3b + 2b)

(−3b −b)(−3b −2b) = 1

10.

Vậy P = 1

10.

1

b. Giải hệphương trình:

 

 3x(x + y −2) = 2y

y(x + y −1) = 9x .

Nhân theo vếcủa hai phương trình, phân tích thành nhân tửrồi rút gọn ta được:

3xy(x+y−2)(x+y−1) = 18xy ⇔



xy = 0

(x + y −2)(x + y −1) = 6 ⇔





xy = 0

x + y −4 = 0

x + y + 1 = 0

.

Từđây, hoặc xy = 0 hoặc x + y = 4 hoặc x + y = −1.

1

TH1: Nếu x = 0 (tương ứng y = 0), thay vào hệban đầu ta được y = 0 (tương ứng

x = 0).

TH2: Nếu x + y = 4, thay vào hệban đầu ta được (x, y) = (1, 3).

TH3: Nếu x + y = −1, thay vào hệban đầu ta được (x, y) = 2

7; −9

7

.

Thửlại, ta kết luận hệđã cho có 3 nghiệm như trên.

1

2(4,0đ) a. Cho

 

 a, b, c > 0

a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a 1 + b2 + b 1 + c2 + c 1 + a2 ≥3

2.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

a 1 + b2 = a(1 + b2) −ab2

1 + b2 = a − ab2

1 + b2 ≥a −ab2

2b = a −ab

2 .

1

1