Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 - 2025 sở GDĐT Quảng Nam

Trang 1/2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

(Đề thi gồm có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 04/4/2025

Câu 1 (3,5 điểm).

1. Cho biểu thức 1 : 1 2 x x x P

x x x x x x x

            

, với 0, 1 x x  . Rút gọn biểu thức P

và tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn 2 P  .

2. Một cổng nhà máy được thiết kế dạng parabol   2 0 y ax a   ở Hình 1. Chiều cao của

cổng là 6 m IO  so với mặt đất và chiều rộng của chân cổng là 4 m. MN 

Hình 1

Hình 2

a) Tìm hệ số a dựa vào các dữ kiện đã cho.

b) Một cái thùng có khối lượng không lớn (kéo được trên mặt đất), dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều cao của cổng, chiều rộng là AB = 2,8 m và chiều cao là BC = h (m) (h > 0). Người ta muốn kéo thùng đó từ bên ngoài vào trong nhà máy qua vị trí chính giữa cổng (Hình 2 minh họa thùng khi qua chính giữa cổng theo hướng nhìn từ phía trước cổng). Tìm điều kiện của h để kéo được thùng đó qua cổng mà không chạm vào cổng.

Câu 2 (3,5 điểm).

a) Giải phương trình   2 4 15 5 2 1 x x x x     .

b) Giải hệ phương trình

2 1 15 2

2 2 2 1 1

x y y

y x y x

             

.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2/2

Câu 3 (1,5 điểm).

Năm học 2024-2025, trường THCS X có ba lớp 6 là 1 2 3 , , L L L và ba học sinh lớp 6 là

1 2 3 , , H H H đã được xếp vào ba lớp khác nhau. Ngày đầu tiên tập trung học sinh theo từng lớp,

do học sinh không biết thông tin nên cô giáo Tổng phụ trách Đội dẫn ba học sinh 1 2 3 , , H H H

vào ngẫu nhiên ba lớp 1 2 3 , , L L L (mỗi lớp có một học sinh vào). Học sinh Hi vào đúng lớp của

mình nếu học sinh Hi vào lớp Li, kí hiệu H L i i (với 1;2;3 i  ). Mô tả không gian mẫu và tính

xác suất để có ít nhất một học sinh vào đúng lớp của mình.

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC) có ba đường cao AD, BE và CF. Trên đoạn thẳng DF

lấy điểm M (M khác D và F), trên tia DE lấy điểm N sao cho   MAN BAC.  Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho MK song song với BC.

a) Chứng minh   AMK ANE  và hai tam giác AKE, AMN đồng dạng. b) Chứng minh AF.FK EF.FM  và điểm A cách đều hai đường thẳng MN, DF.

Câu 5 (4,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, N là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, I là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và AI vuông góc với MN. b) Gọi X là giao điểm của OM và AB, Y là giao điểm của ON và AC. Biết MX = 4,5 và NY = 2. Tính độ dài đoạn thẳng AI.

Câu 6 (2,5 điểm).

a) Cho hai số nguyên tố ,p q đều lớn hơn 5. Tìm số dư của phép chia 30 4 p q  cho 24 .

b) Tìm hai số nguyên ,x y khác 0, có ước chung lớn nhất bằng 1 và thỏa mãn

2 3 2 x x y y    .

Câu 7 (2,0 điểm).

Cho ba số thực , , x y z lớn hơn hoặc bằng 1 và thỏa mãn 2 2 2 2 2 2 3 2 x y y z z x xyz    . Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 xy yz zx T y z z x x y          .

---------- HẾT ----------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. - Họ và tên thí sinh:................................................; Số báo danh......................