Đề học kì 1 Toán 9 năm 2025 - 2026 trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam

Lời giải chi tiết – Kiểm tra học kỳI – Toán lớp 9 – 2025–2026 Mai Thành Luân

ĐỀBÀI VÀ LỜI GIẢI

Thời gian làm bài: 120 phút – Tổng điểm: 10,0

Câu 1 (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

a) √

x2 −3x = 2; b) (2x + 7)2 = 9(x + 2)2.

Lời giải chi tiết

a) Giải phương trình √

x2 −3x = 2. Điều kiện xác định: x2 −3x ≥0.

Vì hai vếcủa phương trình đều không âm nên bình phương hai vế, ta được

x2 −3x = 4 ⇐⇒x2 −3x −4 = 0 ⇐⇒(x −4)(x + 1) = 0.

Do đó x = 4 hoặc x = −1.

Thửlại: √

42 −3 · 4 = √

4 = 2, p

(−1)2 −3(−1) = √

4 = 2.

Cảhai giá trịđều thỏa mãn phương trình.

Kết quả: S = {−1; 4}

b) Giải phương trình (2x + 7)2 = 9(x + 2)2. Ta có (2x + 7)2 −[3(x + 2)]2 = 0.

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: (2x + 7) −3(x + 2) (2x + 7) + 3(x + 2) = 0 ⇐⇒(1 −x)(5x + 13) = 0.

Suy ra 1 −x = 0 hoặc 5x + 13 = 0,

nghĩa là

x = 1 hoặc x = −13

5 .

Kết quả: S = 1; −13

5

Trang 1/10

Lời giải chi tiết – Kiểm tra học kỳI – Toán lớp 9 – 2025–2026 Mai Thành Luân

Câu 2 (1,5 điểm)

Một đoàn khách du lịch gồm 40 người dựđịnh tham quan đỉnh núi Bà Đen – nóc nhà Đông Nam Bộbằng cáp treo khứhồi (gồm lượt lên và lượt xuống). Nhưng khi đến nơi có 5 bạn trẻmuốn khám phá bằng đường bộ khi leo lên còn lúc xuống sẽđi cáp treo nên 5 bạn chỉmua vé lượt xuống, do đó đoàn đã chi ra 9 450 000 đồng đểmua vé. Hỏi giá vé cáp treo khứhồi và giá vé một lượt là bao nhiêu? Biết rằng giá vé một lượt rẻhơn giá vé khứhồi là 110 000 đồng.

Lời giải chi tiết

Gọi giá một vé cáp treo khứhồi là x đồng và giá một vé cáp treo một lượt là y đồng. Điều kiện: x > 0, y > 0. Vì giá vé một lượt rẻhơn giá vé khứhồi 110 000 đồng nên

x −y = 110 000. (1)

Trong 40 người có 5 người chỉmua vé một lượt, do đó có 35 người mua vé khứhồi. Tổng sốtiền mua vé là

35x + 5y = 9 450 000. (2)

Từ(1), suy ra y = x −110 000. Thay vào (2):

35x + 5(x −110 000) = 9 450 000 40x −550 000 = 9 450 000 40x = 10 000 000 x = 250 000.

Khi đó y = 250 000 −110 000 = 140 000.

Hai giá trịđều dương và thỏa mãn các dữkiện của bài toán.

Kết quả: Vé khứhồi: 250 000 đồng; vé một lượt: 140 000 đồng.

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho biểu thức

A = 2 √x −2 + 3 2√x + 1 − 5√x −7 2x −3√x −2

: 2√x + 3 5x −10√x, (x > 0, x ̸= 4).

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trịcủa biểu thức A khi x = 1

4.

Trang 2/10

Lời giải chi tiết – Kiểm tra học kỳI – Toán lớp 9 – 2025–2026 Mai Thành Luân

c) Tìm giá trịcủa x đểbiểu thức A nhận giá trịnguyên.

Lời giải chi tiết

Đặt t = √x. Theo điều kiện của đềbài,

t > 0, t ̸= 2.

Ta có các phân tích

2x −3√x −2 = 2t2 −3t −2 = (2t + 1)(t −2)

và 5x −10√x = 5t(t −2).

a) Rút gọn biểu thức. Biểu thức trong ngoặc bằng

2 t −2 + 3 2t + 1 − 5t −7 (2t + 1)(t −2)

= 2(2t + 1) + 3(t −2) −(5t −7)

(t −2)(2t + 1)

= 4t + 2 + 3t −6 −5t + 7

(t −2)(2t + 1)

= 2t + 3 (t −2)(2t + 1).

Do đó

A = 2t + 3 (t −2)(2t + 1) : 2t + 3 5t(t −2)

= 2t + 3 (t −2)(2t + 1) · 5t(t −2)

2t + 3

= 5t 2t + 1.

Trởlại biến x:

Kết quả: A = 5√x 2√x + 1, với x > 0, x ̸= 4.

b) Tính A khi x = 1

4.

Khi x = 1

4 thì √x = 1

2. Vì vậy

A = 5 · 1

2 2 · 1

2 + 1 =

5 2 2 = 5

4.

Trang 3/10