Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 - 2026 sở GDĐT Quảng Ninh

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

KỲTHI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CỦA TỈNH

DỰTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2025 - 2026

Môn thi: TOÁN

Ngày thi thứnhất: 11/09/2025

Thời gian làm bài: 180 phút, không kểthời gian phát đề

(Đềthi có 01 trang)

Bài 1: (5 điểm)

a. Với a, b, c là các sốthực bất kỳthỏa mãn a ≥b ≥c > 0, chứng minh

a

b + b

c + c

a ≤b

a + c

b + a

c.

b. Với n ∈N∗, n ≥2 và các các sốthực x1 ≥x2 ≥. . . ≥xn > 0, chứng minh

x1 x2 + x2

x3 + . . . + xn−1

xn + xn

x1 ≤x2

x1 + x3

x2 + . . . + xn

xn−1 + x1

xn .

Bài 2: (5 điểm) Tìm tất cảcác đa thức P(x) hệsốthực thỏa mãn:

(P(x))2 = 2P(x2 −1) + 1.

Bài 3: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, AB < AC, nội tiếp đường tròn (O) và

ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt các đường thẳng AC, AB lần

lượt tại M (M ̸= C) và N (N ̸= B).

a. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (I).

b. Kẻcác đường cao BE, CF của tam giác ABC (E, F là chân các đường cao). Đường tròn

ngoại tiếp tam giác BEM cắt (O) tại điểm P ̸= B, đường tròn ngoại tiếp tam giác CFN

cắt (O) tại điểm Q ̸= C; các điểm H và K lần lượt là trung điểm của EM và FN. Kẻđường

thẳng d qua H và song song với PE, đường thẳng d′ qua K và song song với QF; gọi S là

giao điểm của d và d′. Chứng minh đường thẳng AS vuông góc với đường thẳng AI.

Bài 4: (5 điểm) Cho một bàn cờlà một lưới ô vuông kích thước 7×8, trên mỗi ô vuông đều đang

có một quân cờ. Hai ô vuông được gọi là kềnhau nếu chúng có chung một cạnh hoặc chung một

đỉnh. Hỏi phải nhấc ra khỏi bàn cờít nhất bao nhiêu quân cờ, đểtrong các quân còn lại, không

có 5 quân nào nằm trên 5 ô vuông kềnhau thẳng hàng theo hàng dọc, hàng ngang và hàng chéo?

———— HẾT ————

- Thí sinh không được sửdụng tài liệu.

- Giám thịkhông giải thích gì thêm.

Họvà tên thí sinh:................................................................................ Sốbáo danh:.......................

Chữký của Giám thị1:................................Chữký của Giám thị2:..............................

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀTHI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI LẬP ĐỘI TUYỂN HSG CỦA TỈNH

DỰTHI CHỌN HSG QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2025 - 2026

Môn thi: Toán

Ngày thi thứnhất: 11/09/2025

(Hướng dẫn này có 06 trang)

Bài Sơ lược lời giải Điểm

1a (2đ) Với a, b, c là các sốthực bất kỳthỏa mãn a ≥b ≥c > 0, chứng minh

a

b + b

c + c

a ≤b

a + c

b + a

c.

Lời giải: biến đổi tương đương ta được:

a2b + b2c + c2a ≥ab2 + bc2 + ca2 ⇔(a −b)(b −c)(a −c) ≥0, suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b hoặc b = c.

2

1b (3đ) Với n ∈N∗, n ≥2 và các các sốthực x1 ≥x2 ≥. . . ≥xn > 0, chứng minh

x1 x2 + x2

x3 + . . . + xn−1

xn + xn

x1 ≤x2

x1 + x3

x2 + . . . + xn

xn−1 + x1

xn .

Lời giải:

Đặt x1

x2 = t1, x2

x3 = t2, . . . , xn−1

xn = tn−1 thì ti ≥1, ∀i = 1, 2, . . . , n −1 và

xn x1 = 1 t1t2 . . . tn−1 , ta chứng minh:

t1 + t2 + . . . + tn−1 + 1 t1t2 . . . tn−1 ≤1

t1 + 1

t2 + . . . + 1 tn−1 + t1t2 . . . tn−1

⇔f(t1; t2; . . . ; tn−1) = n−1 P

i=1

ti −1

ti

+ 1 t1t2 . . . tn−1 −t1t2 . . . tn−1 ≤0.

Coi t2, t3, . . . , tn−1 là tham số, f là hàm của t1, ta có

f ′(t1) = 1 + 1

t2 1 −t2t3 . . . tn−1 − 1 t2 1.t2t3 . . . tn−1

= 1 + 1

x2 −M − 1 Mx2 (với x = t1 ≥1, M = t2t3 . . . tn−1 ≥1)

= (1 −M) + 1

x2

1 −1

M

= (1 −M). 1 − 1 x2M

≤0

suy ra f(t1; t2; . . . ; tn−1) nghịch biến theo từng biến độc lập, nên

f(t1; t2; . . . ; tn−1) ≤f(1; 1; . . . ; 1) = 0, ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi x1 = x2 = . . . = xn.

3