Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2025 - 2026 sở GDĐT Quảng Ngãi

SỞGD&ĐT QUẢNG NGÃI KỲTHI CHỌN HSG LỚP 12 - NĂM 2026

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN

Người thực hiện: ĐỖTRỌNG KHANG-DPAD

(Bản giải chi tiết - Chỉnh sửa lần cuối: Tháng 01/2026)

Mục lục

1 Hàm SốỨng Dụng 2

2 Đại SốQuy Hoạch Tuyến Tính 3

3 Dãy Số(Cấp SốCộng - Cấp SốNhân) 3

4 TổHợp Xác Suất 4

5 Hình Học Không Gian Oxyz 5

Ngày thi: 29/01/2026 1 Người giải: ĐỗTrọng Khang-DPAD

SỞGD&ĐT QUẢNG NGÃI KỲTHI CHỌN HSG LỚP 12 - NĂM 2026

1 Hàm SốỨng Dụng

CÂU 1 (5,0 ĐIỂM)

1.1. Cho hàm sốy = x2−3x+6

x−1 có đồthị(C). Gọi A, B là hai điểm cực trịcủa đồthị (C) và điểm E(4; 1). Tính diện tích tam giác EAB. 1.2. Khu đất ABCD là hình chữnhật (AB = 0, 5 km, AD = 1 km). Hồnước hình bán nguyệt đường kính AD. Lộtrình di chuyển: Chạy bộA →E →F →D (trên đất), Chèo thuyền D →G (trên hồ), Chạy bộG →A (ven hồ). Vận tốc: vAE = vFD = 6, vEF = 10, vthuyen = 5, vven_ho = 7. Tìm thời gian ngắn nhất.

■Phần 1.1: Diện tích tam giác cực trịTập xác định: D = R \ {1}. Đạo hàm: y′ = (2x−3)(x−1)−(x2−3x+6)

(x−1)2 = x2−2x−3

(x−1)2 .

y′ = 0 ⇔x2 −2x −3 = 0 ⇔

" x = −1 ⇒y = −5 ⇒A(−1; −5) x = 3 ⇒y = 3 ⇒B(3; 3)

Ta có E(4; 1). Các vector: ⃗ AB = (4; 8), ⃗ AE = (5; 6). Diện tích tam giác EAB tính theo công thức toạđộ:

S = 1

2 |x ⃗ ABy ⃗ AE −x ⃗ AEy ⃗ AB| = 1

2|4 · 6 −5 · 8| = 1

2|24 −40| = 8.

ĐÁP SỐ 8 (đvdt)

■Phần 1.2: Bài toán tối ưu Bước 1: Tính thời gian phần hồ(Cốđịnh) Tam giác ODG (O là trung điểm AD) có 3 cạnh bằng 0, 5 (km) ⇒Tam giác đều ⇒\ DOG = 60◦. Góc ởtâm chắn cung GA: [ GOA = 180◦−60◦= 120◦. Độdài cung GA: L = R · 2π

3 = π

3 km.

Th = Tcho + Tven = 0, 5

5 + π/3

7 = 0, 1 + π

21.

Bước 2: Tối ưu hoá thời gian chạy bộĐặt hệtrục A(0; 0), D(1; 0). Gọi E(x; 0, 5) và F(y; 0, 5) với 0 ≤x ≤y ≤1. Hàm mục tiêu:

T(x, y) =

p

x2 + 0, 52

6 −x

10 | {z } f(x)

+

p

(1 −y)2 + 0, 52

6 + y

10 | {z } g(y)

+ 1

10

(Lưu ý: Đã tách y−x

10 = y 10 −x

10). Khảo sát hàm f(t) = √

t2+0,25

6 − t 10. Đạo hàm bằng 0 khi t = 3

8. Tương tựcho y, đặt u = 1 −y, ta cũng thu được kết quảtối ưu tương tự. Giá trịnhỏnhất phần chạy bộ: Tb = 7 30 giờ.

Tổng thời gian: Tmin = 7 30 + 0, 1 + π

21 = 10

30 + π

21 = 1

3 + π

21. ĐÁP SỐ

1 3 + π

21 (giờ)

Ngày thi: 29/01/2026 2 Người giải: ĐỗTrọng Khang-DPAD

SỞGD&ĐT QUẢNG NGÃI KỲTHI CHỌN HSG LỚP 12 - NĂM 2026

2 Đại SốQuy Hoạch Tuyến Tính

CÂU 2 (4,0 ĐIỂM)

2.1. I = I0 · ad. Tại d = 1, I = 95%I0. Tính tỷlệI(20)/I(10). 2.2. Bài toán vẽthiệp: Nhỏ(2h, 10k), Lớn (3h, 20k). Tổng giờ≤30. Tổng thiệp ≥12. Tìm phương án doanh thu cao nhất.

■Phần 2.1 Từgiảthiết: I(1) = I0 · a = 0, 95I0 ⇒a = 0, 95. Tỷlệcần tìm:

K = I0·a20

I0·a10 = a10 = (0, 95)10. ĐÁP SỐ (0, 95)10

■Phần 2.2 Gọi x, y là sốthiệp nhỏ, lớn (x, y ∈N). Bài toán Quy hoạch tuyến tính:

Max F = 10x + 20y với

  

 

2x + 3y ≤30 x + y ≥12 x, y ≥0

Vẽmiền nghiệm, ta tìm được các đỉnh: A(6; 6) (giao điểm hai đường thẳng). Tại A(6; 6): F = 180. Các điểm nguyên lân cận: (7; 5) →F = 170; (8; 4) →F = 160. Vậy tối ưu

tại x = 6, y = 6. ĐÁP SỐ 6 thiệp nhỏ, 6 thiệp lớn

3 Dãy Số(Cấp SốCộng - Cấp SốNhân)

CÂU 3 (2,0 ĐIỂM)

Ba bạn có sốkẹo lập thành CSN công bội q lẻ. Bạn nhiều nhất (Đình Bắc) cho Kiên 10, cho Sơn 8 thì thành CSC. Tìm sốkẹo ban đầu của Bắc.

Gọi sốkẹo ban đầu là u, uq, uq2 (q ∈Z+, q ≥3, q lẻ). Lúc sau: u + 10, uq + 8, uq2 −18. Điều kiện CSC: (u + 10) + (uq2 −18) = 2(uq + 8). Biến đổi đại số:

u(q2 −2q + 1) = 24 ⇔u(q −1)2 = 24

Do q lẻ⇒q −1 chẵn ⇒(q −1)2 ∈{4, 16, 36, . . . }. Chỉcó (q −1)2 = 4 là ước của 24. ⇒q −1 = 2 ⇒q = 3. Suy ra u = 6. Sốkẹo của Bắc: uq2 = 6 · 9 = 54.

Ngày thi: 29/01/2026 3 Người giải: ĐỗTrọng Khang-DPAD