Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPTGDTX năm 2024 - 2025 sở GDĐT Đắk Lắk

Trang 1 / 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẮK LẮK

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề này có 02 trang, gồm 05 bài)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT - GDTX

NĂM HỌC 2024 - 2025

MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 04/03/2025 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm)

a) Cho hàm số:

2 ( 1) ( ) 1 x n x m n y f x x + + + + = = + . Tìm tất cả các giá trị thực của các tham số , m n để

đồ thị hàm số ( ) y f x = đạt cực đại tại điểm ( ) 2; 2 − − .

b) Một nhà đầu tư bất động sản có 40 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá

2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê. Một cuộc khảo sát thị trường cho

thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thêm 100.000 đồng thì sẽ có một căn hộ bị bỏ trống.

Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì nhà đầu tư đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một

tháng?

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình:

2 ln 1 ln ln 2 4 6 2.3 0 x x x + + − − = .

b) Giải hệ phương trình

( ) 2 2

1 2 2

4 2 3 5

 + = +   + − = + 

y x x y x

y x x

.

Bài 3. (4,0 điểm)

a) Sau khi mua ô tô, ông A đến phòng cảnh sát giao thông bấm chọn ngẫu nhiên một biển số xe. Biết

rằng thời điểm đi bấm số xe, biển số xe có dạng 47A 245. xy, với x, y là các chữ số thuộc

{ } 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Tính xác suất để ông A bấm được biển số xe 47A 245. xy thỏa x y < .

b) Cho một bảng ô vuông 3x3, mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ.

Có bao nhiêu cách tô màu mà trong bảng vuông đó có chứa bảng vuông 2x2 mà cả bốn ô vuông

đơn vị đều được tô bởi màu đỏ . (Bảng ô vuông được cố định, không xoay, như hình vẽ).

Bài 4. (4,0 điểm)

a) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 5. Cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng ( ) ABCD và 5 5 SC = . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính

cosin góc tạo bởi đường thẳng AC với mặt phẳng ( ) SCD và khoảng cách giữa BD và MN .

Trang 2 / 2

b) Ở phường Tân An, có hai trạm phát sóng wifi A, B đặt trên hai trụ cao 20m và hai trụ này cách

nhau 500m. Trạm A có tầm phát sóng 400m, trạm B có tầm phát sóng 300m. Trên mặt đất có nút

giao hai con đường ở vị trí C cách chân hai trạm phát sóng A và B lần lượt là 600m và 400m.

Biết có một Flycam đang bay trên không trung trong vùng phủ sóng sóng wifi của trạm A hoặc

trạm B và một ô tô đang di chuyển trên con đường thẳng nối từ chân trạm A đến C, rồi chuyển

hướng vào đường thẳng từ C đến chân trạm B. Hỏi khoảng cách lớn nhất có thể của Flycam với

ô tô là bao nhiêu mét (giả sử chân trụ trạm A và B ở sát cạnh đường và Flycam được điều khiển

bởi sóng wifi này nên khi ra ngoài vùng phủ sóng của trạm A và B thì sẽ bị rơi).

Bài 5. (4,0 điểm)

a) Cho dãy số thực ( )( ) 0,1,2,... na n = thỏa mãn 1 2 0 4 3 2025, 0 n n n a a a n + + ≤ + + ≤ ∀≥ . Chứng minh

rằng dãy ( ) na bị chặn.

b) Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, gọi M là trung điểm của AD. Đường thẳng BM cắt AC

tại N. Biết AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN, chứng minh rằng

2 BM AC MN AB   =    

.

----------------HẾT----------------

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu, không được sử dụng máy tính cầm tay.

• Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên………………………………………Số báo danh:………………………….