Đề tham khảo chọn HSG tỉnh Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Sóc Trăng

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

SÓC TRĂNG ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

Năm học: 2024-2025 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ THAM KHẢO

Môn: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề)

Đề thi này có 01 trang

Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình sau:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 7 6 8 cos 2 1 cos 5 7 sin x x x x x x x x x x x + − + − + = − + + + −

Bài 2: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có 4 AB = ,

2 BC = . Đường tròn ( ) 1 C tâm I tiếp xúc với các cạnh

AB , BC , CD và đường tròn ( ) 2 C tâm J bán kính 4 5

tiếp xúc với các cạnh CD , AD . Đường tròn ( ) C tâm

K là đường tròn tiếp xúc hai đường tròn ( ) 1 C , ( ) 2 C và

cạnh AB . Tính diện tích hình tròn ( ) C .

Bài 3: (6 điểm)

1) Cho hình vuông ABCD cạnh 5m trên mỗi cạnh AB , BC , CD, AD lấy 4 điểm cách

đều nhau. Có bao nhiêu tam giác cân và tổng diện tích tất cả các tam giác cân tạo bởi các điểm

đó với các đỉnh của hình vuông.

2) Hai học sinh An và Bình cùng tham gia một kỳ thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh. Biết

rằng bạn An thi có giải với xác suất là 0,5. Nếu bạn An thi không có giải và bạn Bình có giải

thì có xác suất là 0,2. Tính xác suất để hai bạn đều không có giải.

Bài 4: (7 điểm) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a và O , ' O lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD, ' ' ' ' A B C D . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB ,

BC , CD , AD .

1) Tính khoảng cách hai đường thẳng ' NO và đường thẳng PQ.

2) Gọi ' M , ' N , ' P , ' Q lần lượt là trung điểm các cạnh ' ' A B , ' ' B C , ' ' C D , ' ' A D . Khi

đó một vật thể ( ) α là phần giao nhau của hai hình chóp . ' ' ' ' O M N P Q , '. O MNPQ. Tính thể

tích vật thể ( ) α .

------ Hết ------ Họ tên thí sinh: ............................................... Số báo danh:..................................................... Chữ ký của Cán bộ coi thi 1: ......................Chữ ký của Cán bộ coi thi 2: ................................

1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

SÓC TRĂNG ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

Năm học: 2024-2025 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ THAM KHẢO

Môn: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm có 05 trang)

BÀI Đáp án Điểm

1 Giải phương trình sau:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 7 6 8 cos 2 1 cos 5 7 sin x x x x x x x x x x x + − + − + = − + + + −

3,0

( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 5 7 6 8 cos 2 1 cos 5 7 1 cos x x x x x x x x x x x ⇔ + − + − + = − + + + − −

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 8 cos 2 1 cos 5 7 cos x x x x x x x x x ⇔ − + = − + − + −

( ) ( ) 2 2 2 cos 6 8 2 1 5 7 cos 0 x x x x x x x x   ⇔ − + − − + + + − =  

( ) ( ) 2 2 cos 5 7 5 7 cos 0 x x x x x x   ⇔ − + − + + − =  

2,0

( )( ) 2 cos 5 7 1 cos 0 x x x x ⇔ + − −+ =

2 cos 0

5 7 0 1 cos 0

x

x x x

=   ⇔ + − =  −+ = 

( )

2 5 53 2 5 53 2 2

x k

x k

x

x k

π π

π

= +   −+ =  ⇔ ∈  −− =  = 



Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ( )

2 5 53 2 5 53 2 2

x k

x k

x

x k

π π

π

= +   −+ =  ∈  −− =  = 



1,0

2

BÀI Đáp án Điểm

2

Cho hình chữ nhật ABCD có 4 AB = , 2 BC = .

Đường tròn ( ) 1 C tâm I tiếp xúc với các cạnh

AB , BC , CD và đường tròn ( ) 2 C tâm J bán

kính 4 5 tiếp xúc với các cạnh CD , AD . Đường

tròn ( ) C tâm K là đường tròn tiếp xúc hai

đường tròn ( ) 1 C , ( ) 2 C và cạnh AB . Tính diện

tích hình tròn ( ) C .

4,0

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ khi đó ( ) 0;0 A , ( ) 4;0 B , ( ) 4;2 C , ( ) 0;2 D .

Đường tròn ( ) 1 C có đường kính bằng 2 BC =

và ( ) 3;1 I

Suy ra ( ) 1 C : ( ) ( ) 2 2 3 1 1 x y − + − = .

Đường tròn ( ) 2 C bán kính 4 5 và 4 6 ; 5 5 J      

Suy ra ( ) 2 C :

2 2 4 6 16 5 5 25 x y     − + − =        

.

1,0

Gọi bán kính đường tròn ( ) C là a và ( ) ; K a b khi đó

1

4 5

IK b

JK b

= +  = + 

và

( ) ( ) 2 2

2 2

3 1

4 6 5 5

IK IK a b

JK JK a b

 = = − + −       = = − + −          





Suy ra

( ) ( ) 2 2

2 2

3 1 1

4 6 4 5 5 5

a b b

a b b

 − + − = +      − + − = +         …