Đề thi Olympic Toán 11 năm 2024 - 2025 liên cụm trường THPT - Hà Nội

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn thi: TOÁN 11 Ngày thi: 15 tháng 3 năm 2025 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 02 trang) PHẦN I. TRẢ LỜI NGẮN (10,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.

Câu 1 (1,0 điểm) Giá trị lớn nhất của hàm số cos2 sin 1 y x x    trên đoạn ; 4        

bằng bao nhiêu?

Câu 2 (1,0 điểm) Mẫu số liệu ghép nhóm về tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên quần vợt được cho trong bảng sau:

Tốc độ (km/h)   150;155   155;160   160;165   165;170   170;175   175;180

Số lần 28 28 35 43 41 35 Trung vị của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?

Câu 3 (1,0 điểm) Giá trị của

3 3

2 2

3 2 1 lim 4 x

x x x 

   bằng bao nhiêu?

Câu 4 (1,0 điểm) Một cấp số cộng có chẵn số hạng. Tổng các số hạng thứ lẻ là 24, tổng các

số hạng thứ chẵn là 30. Biết rằng số hạng cuối lớn hơn số hạng đầu là 21, 2

cấp số cộng đó có

bao nhiêu số hạng?

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số 

2 3 khi 1. 1 2 khi 1

x ax b x f x x

x

          

Biết hàm số ( ) f x liên tục

tại điểm 1, x  giá trị của ab bằng bao nhiêu?

Câu 6 (1,0 điểm) Phương trình 5 cos cot 2 2 1 sin

x x x           

có bao nhiêu nghiệm trên

đoạn   0;2025?

Câu 7 (1,0 điểm) Cho cấp số nhân   nu có mọi số hạng đều dương và công bội 1 q . Biết

1 2 3 4

45

4 u u u u     và

1 2 3 4

1 1 1 1 5 , 2 u u u u     giá trị của 1 2 3 4 . . . u u u u bằng bao nhiêu?

Câu 8 (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD và O là điểm bất kì nằm bên trong tam giác

. BCD Qua điểm O kẻ các đường thẳng song song với , , AB AC AD theo thứ tự cắt các

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

mặt phẳng     , , ACD ABD ABC lần lượt tại các điểm , , . M N P Giá trị của biểu thức

OM ON OP T AB AC AD    bằng bao nhiêu?

Câu 9 (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a cạnh 2 SA a  và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng AC và . SD Khi đó giá trị của cos bằng bao nhiêu?

Câu 10 (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và , B , 2 . AB BC a AD a    Cạnh 2 SA a  và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SB CD và  là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt phẳng ( ). SAC Khi đó giá trị của sin bằng bao nhiêu?

PHẦN II. TỰ LUẬN (10,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 11 đến câu 13. Với mỗi câu hỏi, thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi.

Câu 11 (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

sin2 2 sin cos 0 x m x x m     có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn 5 0; . 2

      

Câu 12 (4,0 điểm) Cho tứ diện OABC có ba đường thẳng ; ; OA OB OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC .

a) Chứng minh rằng đường thẳng OH vuông góc với mặt phẳng  . ABC

b) Gọi , ,  lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng OH với các đường thẳng , OA OB và

. OC Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 cos cos cos T       .

c) Chứng minh 3. HBC HAC HAB

OBC OAC OAB

S S S S S S

  

     

Câu 13 (3,0 điểm) Cho d y số ( ) nu ác định bởi

.

 

1

* 1

2

. 2 2 2, 1

n n

u

n u u n n n 

         

a) Chứng minh d y số   nu là d y số tăng.

b) Chứng minh 3 2024 2025 1 2 . ... 2 3 4 2025 2026 u u u u u     

-----------------HẾT-----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:……………………………………...Số báo danh:…………………………... Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2: