Đề thi HSG Toán 10 KNTTVCS năm 2024 - 2025 trường THPT Phú Xuyên B - Hà Nội

TRƯỜNG THPT PHÚ XUYÊN B

TỔ TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Năm học 2024 - 2025 Môn: Toán - Lớp 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

(Đề thi này có 1 trang, 5 câu) Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I: (5 điểm) 1. Cho hai tập hợp ( ; ], [3 ;10) A m B m = −∞ = −

a) Với m = 4, tìm A ∩B b) Tìm m để B \ A có ít nhất 5 số nguyên. 2. Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu? Câu II: (4 điểm)

1. Trên đoạn [– 9; 10] có bao nhiêu giá trị nguyên của m để x – y + 2m – 1 ≤0 với mọi x và y thoả mãn

hệ

2 2

2 4

5

y x

y x

x y

− ≤   − ≥   + ≤ 

2. Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty)

cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B . Trong đó xe loại

A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi

phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người

và 0,6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.

Câu III: (5 điểm) 1. Chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì, ta có: sinC = sinA.cosB + sinB.cosA

2. Cho tam giác ABC có a = 2b.cosC và

3 3 3 2 a c b b a c b + − = + − . Chứng minh rằng ABC là tam giác đều

3. Cho tam giác ABC có 2a + 2b + 2c = 3(2 + 6 + 2 ) , A = 600, C = 450 . Tìm a, b, c

Câu IV: (4 điểm) 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và G là trọng tâm. Gọi E là trung điểm của AG. Tìm hai

số m và n sao cho CE mAB nMG = +   

2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2; 1), B(0; – 2) và trực tâm H(– 16; 10). Tìm toạ độ điểm C Câu V: (2 điểm) 1. Cho tam giác ABC đều tâm O. Lấy M tùy ý nằm trong tam giác ABC. Gọi F, D, E lần lượt là hình chiếu

của M trên AB, BC, CA. Chứng minh rằng: 3 2 MD ME MF MO + + =    

2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 5, M là điểm cố định cách O một đoạn bằng 7. Gọi d là đường thẳng

thay đổi luôn đi qua M và cắt (O) tại hai điểm phân biệt A và B. Tính . MA MB 

---------------------Hết---------------------

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG 10 năm học 2024 – 2025 Câu Đáp án Điểm I.1a

2 đ

Với m = 4 suy ra A = (−∞ ; 4] , B = [ – 1; 10). Vậy A∩B = [ – 1; 4] 2

I.1b

2 đ

+ Nếu 3 3 2 m m m < − ⇔ < thì \ [3 ;10) B A m = − . Tập này chứa ít nhất 5 số nguyên khi

3 5 2 m m − ≤ ⇔ ≥−. Kết hợp điều kiện đang xét ta được 3 2 2 m −≤ < .

1

+ Nếu 3 3 2 m m m ≥ − ⇔ ≥ thì \ ( ;10) B A m = . Tập này chứa ít nhất 5 số nguyên khi

5 m < .

Kết hợp điều kiện đang xét ta được 3 5 2 m ≤ < .

Vậy điều kiện cần tìm là 2 5 m −≤ < .

1

I.2 1 đ

Gọi A là tập các học sinh chơi đá cầu

B là tập các học sinh chơi cầu lông

Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25 15 10   Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30 15 15   Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 15 15 40   

1

II.1

2 đ

Miền nghiệm của hệ

2 2

2 4

5

y x

y x

x y

− ≤   − ≥   + ≤ 

là miền trong của tam giác ABC kể cả biên

1

25

30 15