Đề Thi HSG Toán 12 Chuyên Sở GD Quảng Nam 2024-2025 Có Đáp Án

Trang 1/9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2024 – 2025 ĐỢT 1

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm này gồm có 09 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

Giải hệ phương trình 



2 4 3 2

2 2 1 2 2 12 44 1

1 2 2 4 3 0 2

x y x x y y

x y x y x y

        

        

2,0

ĐK:

2

1

2

1 0

x y

x y

        

. 0,25

+ Xét 1 1 2 0 2

x x y y

       

không thỏa mãn hệ. 0,25

+ Xét 1 2 0 x y     , PT   2 2 1 2 2 2 4 3 0 1 2

x y x y x y x y

          

   3 3 1 0 1 2 x y x y x y x y           

  1 3 1 0 1 2 x y x y x y

                

3 y x    (do 1 1 0 1 2

x y x y

     )

0,5

Thay 3 y x   vào PT(1) ta được:

      2 2 4 3 3 1 2 2 3 12 3 44 x x x x x x          

2 4 3 2 2 2 2 26 x x x x x        (3)

0,25

+ Hàm số 

2 2 f x x x    có 

2 2 1 0, 1 2 2

x f x x x x

      

nên đồng biến trên

  1; . + Hàm số 

4 3 2 2 2 6 g x x x x     có

    3 2 4 6 4 2 2 1 2 0, 1 g x x x x x x x x          nên nghịch biến trên   1; .  PT(3) có nghiệm duy nhất 2 x  .

0,5

Với 2 1 x y   .

Vậy hệ PT đã cho có nghiệm duy nhất 2

1

x

y

    

. 0,25

Trang 2/9

Câu Nội dung Điểm

Câu 2

Cho dãy số thực   n u xác định như sau: 1 2 u  ;

1

1

3 , 2. 3

k n

n n

k

n u n k



    Chứng minh

1

1(1 ), 2 3 n n n u u n n 

     và tìm lim n u .

3,0

Nhận xét: 0 n u  với mọi * n . 0,25

Ta có:

1

1 1 1 1 1

1 3 1 3 3 3 3

k n k n n

n n n k k

n n u k n k



    

            

1

1

1 1 3 . 3 3 3

k n

n

k

n n n n n k





     0,5

  1 1 1 . 1 3 3 3 n n n n n u u n n n        , với mọi 2 n  . 0,25

   2 1 2 1 3 1 n n n u u n       , với mọi 2 n  . 0,25

Khi đó:      2 1 1 2 1 1 1 3 1 3 n n n n n n u u u u n n           

      

2 1 2 1 1 1 3 1

n n n n u n u n n

       

      

2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1

3 1

n n n n n n u n n n n u

n n

           

0,5

    

2

1 2 1

3 1

n n n n n u u u

n n

       , với mọi 2 n  . (1) 0,25

Ta có: 4 3

22 5 0 27 6 u u     nên từ (1) suy ra 5 4 0 u u   .

Khi đó từ (1) suy ra 6 5 0 u u   . Lập luận tương tự, ta có: 2 1 0 n n u u     , với mọi 2 n  .

0,5

Do đó dãy số   n u là dãy số giảm kể từ số hạng thứ 3.

Lại có dãy số   n u bị chặn dưới nên   n u tồn tại giới hạn hữu hạn.

Giả sử lim n n u a   .

0,25

Từ   1

1 1 , 2 3 n n n u u n n 

    , cho n  ta được   1 1 1 . 3 2 a a a    

Vậy 1 lim . 2 n n u  

0,25

Trang 3/9

Câu Nội dung Điểm

Câu 3

Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn   (2 ) 2 ( ) ( ) , , f a f b f f a b a b     . 2,0

- Với ta có - Với ta có . Cho ta có Suy ra

0,5

Ta có:

0,25

Khi đó, với mọi số nguyên n ta có ( 1) ( ) (1) (0) f n f n f f     . Do đó, các giá trị …, ( 1), (0), (1), (2),... f f f f  tạo thành một dãy vô hạn, hai số hạn kề nhau chênh lệch (1) (0) k f f   . Do đó ( ) f x kx m   , với (1) (0) k f f   , (0) m f  .

0,25

Thay vào phương trình ban đầu ta được:

  2 ( ) 3 ( ) k a b m f f a b      (*)

0,25

Với s a b  , khi đó (*) viết lại:

  2 3 ( ) 2 3 ( ) ks m f f s ks m k ks m m       

2 (2 ) (2 ) 0 k k s m km      (**)

0,25

Vì s là số nguyên tùy ý nên từ (**) suy ra

2 2 0

2 0

k k

m km

      

0

0

k

m

    

hoặc 2 k  . 0,25

Suy ra ( ) 0 f x  hoặc ( ) 2 f x x m   , với (0) m f  . Thử lại thỏa mãn. Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu: ( ) 0 f x  và ( ) 2 f x x m   , với (0) m f  .

0,25

0 b    (2 ) 2 (0) ( ) f a f f f a  

0 a    (0) 2 ( ) ( ) f f b f f b   b a    (0) 2 ( ) ( ) f f a f f a  

(2 ) 2 (0) (0) 2 ( ) (2 ) 2 ( ) (0) f a f f f a f a f a f             (2 ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (0) f a f b f f a b …