Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2024 - 2025 sở GDĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2024-2025 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút.

(Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm)

a) Cho , 1 x y  thỏa mãn 1 1 5 1 1 4 x y xy     . Tính giá trị của biểu thức 3 3 9 A x y xy    .

b) Xét đa thức 

2 P x x ax b    với , a b là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu   1 2 2024 P   thì   1 2 2024 P   .

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình    2 2 2 9 2 8 2 x x x x      .

b) Giải hệ phương trình   

2 2

3 2 2 1 0

4 9 7 3 10 5 0.

x x y y

x x x y y

     

      

Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O và AB AC  . Ba đường cao của tam giác ABC là , , AD BE CF đồng quy tại điểm H . Gọi AQ là đường kính của đường tròn  O , đường thẳng HQ cắt cạnh BC tại điểm M . Đường tròn ngoại tiếp tam giác

AEF cắt đường tròn  O tại điểm N và cắt đường thẳng AM tại điểm K ( N , K khác A), đường thẳng AN cắt đường thẳng BC tại điểm P. Chứng minh rằng:

a) HQ vuông góc với AN và   FDH HDE  ,   FDK NDE  .

b) Ba điểm , , P E F thẳng hàng.

c) 2 . PE PF PM  . Câu 4: (1,5 điểm)

a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n , số 5 6 33 n n   không là số chính phương. b) Cho các số nguyên dương , a b thỏa mãn điều kiện 1 a b   là ước nguyên tố của   2 2 4 3 a ab b   . Chứng minh rằng 1 a b   là ước của   2 2 4 3 a ab b   .

Câu 5: (1,5 điểm)

a) Xét , , x y z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx xyz    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2 2 18 Q xy yz zx x y z       .

b) Cho bảng hình chữ nhật gồm 2 dòng và n cột, được chia đều thành 2n ô vuông đơn vị. Ban đầu, trong mỗi ô vuông đơn vị người ta đặt đúng một viên bi có kích thước rất nhỏ. Ta gọi mỗi biến đổi (T) là việc thực hiện các thao tác sau: Chọn ra hai ô vuông đơn vị tùy ý có chứa bi, chuyển từ mỗi ô vuông đó đi một viên bi sang ô vuông đơn vị liền kề (hai ô vuông đơn vị gọi là liền kề nếu chúng có chung cạnh). Tìm tất cả các số nguyên dương n để sau hữu hạn lần chỉ thực hiện biến đổi (T), ta có thể đưa hết tất cả các viên bi có trên bảng lúc đầu về nằm trong cùng một ô vuông đơn vị của bảng.

---------Hết--------- Họ và tên thí sinh:……………………………… Họ tên, chữ ký GT 1 ..………..………… Số báo danh: …………………………………… Họ tên, chữ ký GT 2 ..………..…………

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học: 2024 - 2025 Môn thi: TOÁN (Chuyên)

(Hướng dẫn chấm gồm: 06 trang.) Câu 1: (2,0 điểm)

a) Cho , 1 x y  thỏa mãn 1 1 5 1 1 4 x y xy      . Tính giá trị của biểu thức 3 3 9 A x y xy    .

b) Xét đa thức 

2 P x x ax b    với , a b là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu   1 2 2024 P   thì   1 2 2024 P   .

Ý Nội dung Điểm

1a) 1,0đ

+ Ta có       1 1 5 4 2 5 1 1 1 1 4 xy x y x y x y xy            

     3 3 3 1 0 xy x y xy x y x y xy            (1)

0,25

+ Với , 1 x y  thì 1 0 xy  , do đó  1 3 x y    . 0,25

+ Vậy     3 3 3 9 3 9 A x y xy x y xy x y xy         0,25

33 3 .3 9 27 xy xy     . 0,25

1b) 1,0đ

+ Ta có   1 2 2024 P      

2 1 2 1 2 2024 a b       0,25

  2 2 2021 a a b     . 0,25

+ Do 2 a  , 2021 a b   là các số nguyên trong khi 2 là số vô tỉ nên phải xảy

ra 2 0

2021 0

a

a b

       

hay 2

2023.

a

b

   

0,25

+ Vậy     

2 1 2 1 2 2 1 2 2023 P      

3 2 2 2 2 2 2023 2024       , có điều phải chứng minh.

0,25

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình    2 2 2 9 2 8 2 x x x x      .

b) Giải hệ phương trình   

2 2

3 2 2 1 0

4 9 7 3 10 5 0.

x x y y

x x x y y

     

      

Ý Nội dung Điểm

+ Điều kiện xác định 2 2 8 0 x x    .

ĐỀCHÍNH THỨC.