Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 - 2025 trường PTNK - TP HCM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10

NĂM HỌC 2024-2025

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

Năm học 2024 – 2025

Môn thi: Toán chuyên Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Bài 1. (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình

3 3

3 3

3 3

x z y

y x z

z y x

          

.

2) Cho hai số nguyên dương ,a b phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba

nghiệm

    2 1 2 2 0 x x a b x ab           .

Bài 2. (1.5 điểm) Cho ba số thực , , a b c không âm thỏa mãn:   2 2 2 3 2 a b c ab bc ca       . Chứng minh

  2 3 3 3 ab bc ca a b c        .

Bài 3. (2 điểm) Với mỗi số tự nhiên n, đặt     2 3 2 3 n n

na     .

a) Chứng minh 2 1 4 n n n a a a     với mọi 0,1,2,... n  . b) Tìm n để na chia hết cho 4. c) Tìm n để na chia hết cho 14. Bài 4. (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có tam giác ABD là tam giác nhọn và đường chéo AC đi qua tâm O của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm BD, H là trực tâm của tam giác ABD, E là giao điểm khác A của AI với (O) và K là hình chiếu vuông góc của H lên AI.

a) Chứng minh CEHK là hình bình hành và

2 2 . IB ID IA IK   .

b) Lấy điểm F trên cung nhỏ  BD của đường tròn (O) sao cho 𝐵𝐴𝐹 ෣= 𝐷𝐴𝐼 ෣ . Chứng minh các điểm K và F đối xứng nhau qua đường thẳng BD. c) Chứng minh các đường phân giác trong các góc 𝐵𝐴𝐷 ෣ và 𝐵𝐾𝐷 ෣ cắt nhau trên BD. d) Trên đường thẳng qua H và song song AC lấy điểm T sao cho TH TK  . Chứng minh các điểm O, K, F, T cùng thuộc một đường tròn. Bài 5. (1.5 điểm) Cho các số nguyên dương 1 2 3 30 31 ... a a a a a      . Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.

a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng

các số được ghi trên 15 thẻ còn lại. Chứng minh 1 226 a  . b) Lấy 1 2 31 , ,..., a a a là 31 số nguyên dương đầu tiên: 1,2,...,31. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thì thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.

-----------HẾT---------

ĐÁP ÁN Bài 1.

1) (1 đ)Giải hệ phương trình







3 3

3 3

3 3

1

2

3

x z y

y x z

z y x

          

.

Lấy hiệu phương trình (1) và (2) vế theo vế ta được:    2 2 1 0 y z y yz z      . (0.25đ)

Do

2 2 2 2 3 0 2 4 z z y yz z y            

nên y z  . (0.25đ)

Tương tự, lấy hiệu phương trình (2) và (3) ta được x z  . (0.25đ)

Thế lại (1): 3

0

1 2

2

1

2

x y z

x x x y z

x y z

                

. (0.25đ)

2) (1đ)Điều kiện: 0 x  .

Phương trình trở thành:   2

1

2 2 0 (*)

x

x a b x ab

        

. (0.25đ)

Xét pt (*):  

2 2 2 ' 2 2 0 a b ab a b ab          (do a, b nguyên dương); 0; 2 0 S a b P ab       . Suy ra pt (*) có hai nghiệm phân biệt dương. (0.5đ) Ta nhận xét tiếp pt (*) không nhận 1 x  là nghiệm. Giả sử ngược lại, thế vào pt ta có:      21 2 1 2 0 2 2 1 a b ab a b         

1

3 a b a b       

(trái giả thuyết a, b phân biệt). (0.25đ)

Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. Bài 2. (1.5đ) Do 2 2 2 ab bc ca a b c      . (0.25đ) Thế vào giả thuyết   2 3 3 ab bc ca ab bc ca ab bc ca         . (0.25đ)

Mà     2 3 a b c ab bc ca      , suy ra 3 a b c    . (0.25đ)

Từ giả thuyết:      

2 2 3 3 4 4 a b c a b c ab bc ca ab bc ca              . (0.25đ)

Ta chứng minh:

     

2 2 3 3 3 3 3 2 ab bc ca a b c a b c a b c              

 

2 3 0 a b c      (đúng) (0.5đ) Bài 3.

a) Ta có:        

1 1 2 2

1 2 ; 2 3 2 3 2 3 2 3 n n n n

n n a a    

          (0.25đ)

Suy ra :