Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 - 2025 sở GDĐT Lai Châu

Lời giải ĐềToán Chuyên - Kỳthi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Lai Châu năm học 2024-2025 ****** Thực hiện: Đội tuyển HSGQG Toán trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn năm học 2023-2024 Phạm Công Hoàng, Nguyễn Hoàng Việt, Nguyễn Minh Tuấn Vương Thành Nam, Nguyễn Văn Chính, Nguyễn Phương Thảo

1 Đềbài

Bài 1: Cho biểu thức:

A = x√x −1

x −√x −x√x + 1

x + √x

: 2x −4√x + 2

x −1 ; (x > 0, x ̸= 1)

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các sốnguyên x đểbiểu thức A nhận giá trịnguyên.

Bài 2: a) Giải phương trình √

3x + 1 + √

2 −x = 3. b) Tìm m đểphương trình x2 + 2x + m có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn: 3x1 + 2x2 = 1.

Bài 3: a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (x + 1)(y + 1) = 6. b) Tìm tất cảcác sốtựnhiên n sao cho (2n + 1)3 + 1 chia hết cho 22024. c) Cho các sốthực a,b,c thay đổi. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ab + bc + ca. d) Cho các sốthực b1 ≥b2 > 0; a1 ≥b1; a1a2 ≥b1b2. Chứng minh rằng: a1 + a2 ≥b1 + b2.

Bài 4: Cho A, B là hai điểm cốđịnh nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R = 2. GiảsửC là điểm cốđịnh trên tia đối của tia BA sao cho CO = 4. Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa C và E). a) Chứng minh rằng: CD.CE = 12. b) Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứhai M. Biết rằng bốn điểm O, B, M, E tao thành tứgiác OBME. Chứng minh rằng: Tứgiác OBME nội tiếp. c) Khi M di chuyển, chứng minh rằng: MO.MC ≤8.

Bài 5: Anh Nam là một vận động viên chơi cờ. Đểluyện tập, mỗi ngày anh chơi ít nhất một ván. Đểkhỏi mệt, mỗi tuần anh chơi không quá 12 ván. Chứng minh rằng tồn tại một sốngày liên tiếp trong đó anh chơi đúng 20 ván.

1

2 Lời giải

Bài 1: Cho biểu thức:

A = x√x −1

x −√x −x√x + 1

x + √x

: 2x −4√x + 2

x −1 ; (x > 0, x ̸= 1)

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các sốnguyên x đểbiểu thức A nhận giá trịnguyên.

Lời giải. a) Ta có: A = x√x −1

x −√x −x√x + 1

x + √x

: 2x −4√x + 2

x −1

= (√x −1)(x + √x + 1) √x(√x −1) −(√x + 1)(x −√x + 1) √x(√x + 1)

: 2(√x −1)2

(√x −1)(√x + 1)

= x + √x + 1 √x −x −√x + 1 √x

: 2(√x −1) √x + 1

= 2. √x + 1 2(√x −1) = √x + 1 √x −1.

b) Ta có: A = √x + 1 √x −1 = √x −1 + 2 √x −1 = 1 + 2 √x −1.

Đểbiểu thức A nhận giá trịnguyên thì √x−1 là ước của 2. Chú ý rằng x > 0 nên √x−1 > −1. Suy ra √x −1 ∈{1, 2} ⇐⇒x ∈{4, 9}.

Bài 2:

a) Giải phương trình √

3x + 1 + √

2 −x = 3.

Lời giải. a) ĐKXĐ: −1

3 ≤x ≤2.

Ta có: √

3x + 1 + √

2 −x = 3 ⇐⇒ √3x + 1 + √2 −x 2 = 9

⇐⇒2x + 3 + 2 p

(3x + 1)(2 −x) = 9

⇐⇒ p

(3x + 1)(2 −x) = 3 −x

⇐⇒(3x + 1)(2 −x) = (3 −x)2 (Do −1

3 ≤x ≤2 nên 3 −x ≥0)

2

⇐⇒−3x2 + 5x + 2 = x2 −6x + 9

⇐⇒4x2 −11x + 7 = 0

⇐⇒x ∈ 1, 7

4

(Thửlại đều thỏa mãn).

b) Tìm m đểphương trình x2 +2x+m có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn: 3x1 +2x2 = 1.

Lời giải. Xét ∆′ = 1 −m. Đểphương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thì ∆′ ≥0 ⇐⇒ m ≤1.

Theo định lí Viete ta có:

( x1 + x2 = −2(1) x1x2 = m(2)

Ta có 3x1 + 2x2 = 1(3). Giải hệphương trình gồm (1) và (3) ta thu được x1 = 5vx2 = −7. Thay vào (3) ta được:

m = x1x2 = −35

Đối chiếu điều kiện ta thấy thỏa mãn. Vậy m = −35 là đáp sốcủa bài toán.

Bài 3:

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (x + 1)(y + 1) = 6.

Lời giải. Vì x, y là các sốnguyên dương nên x + 1 ≥2 và y + 1 ≥2. Do đó:

hoặc

( x + 1 = 2 y + 1 = 3 hoặc

( x + 1 = 3 y + 1 = 2

Hay

( x = 1 y = 2 hoặc

( x = 2 y = 1

b) Tìm tất cảcác sốtựnhiên n sao cho (2n + 1)3 + 1 chia hết cho 22024.

Lời giải. Với các sốnguyên a, b, ký hiệu b | a nghĩa là a chia hết cho b hoặc b là ước của a.

Ta có: (2n + 1)3 + 1 = (2n + 2)[(2n + 1)2 −(2n + 1) + 1] = 2(n + 1)(4n2 + 2n + 1).

3