Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hà Nam

LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀTOÁN CHUYÊN HÀ NAM 2024-2025

CÙ THANH BÌNH (THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ) HOÀNG VĂN QUYỀN (THPT ĐÔNG DU)

1. ĐỀTHI

Câu 1. (1, 5 điểm) Cho biểu thức A = x√x + 5√x + 6

x + 2√x −3 −x −7√x −8

x + 2√x + 1 −2x + 10√x + 12

x −√x −6 với x ≥0, x ̸= 9

1. Rút gọn biểu thức A

2. Tìm tất cảcác giá trịcủa x đểbiểu thức 4

A nhận giá trịnguyên

Câu 2. (1, 0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho parabol (P) có phương trình y = ax2

và đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độmột điểm là

x = √

5 − √

3 √

5 + √

3

Câu 3. (1, 5 điểm)

1. Giải phương trình √

x3 + 1 + x2 −3x −1 = 0

2. Giải hệphương trình

(√x + 1 + p

y2 + 4 + √y = 4

2 p

xy2 + 4x + y2 + 4 −y + 4√y = 8

Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cảcác sốtựnhiên n sao cho 2n −1 và 3n + 1 là các sốchính phương và 6n −13 là sốnguyên tố

Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

1. Chứng minh DA là tia phân giác của góc EDF

2. Chứng minh HD

AD + HE

BE + HF

CF = 1

3. Gọi M là giao điểm của tia EF với đường tròn (O). Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMF và tam giác CME. Chứng minh AM ⊥PQ

1

2 Cù Thanh Bình - Hoàng Văn Quyền

4. Tìm mối liên hệgiữa các cạnh của tam giác ABC đểbiểu thức (AB + BC + CA)2

AD2 + BE2 + CF 2 đạt

giá trịnhỏnhất

Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba sốthực dương thoảmãn điều kiện abc ≥1. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

P = 1 a2 + 1 + bc + 1 b2 + 1 + ac + 1 ab(c2 + 1) + 1

Thí sinh được phép sửdụng máy tính bỏtúi không có chức năng soạn thảo văn bản và thẻnhớ

Lời giải tham khảo đềtoán chuyên Hà Nam 2024-2025 3

2. LỜI GIẢI

Câu 1. (Cù Thanh Bình) Với x ≥0, x ̸= 9

1.

A = x√x + 5√x + 6

x + 2√x −3 −x −7√x −8

x + 2√x + 1 −2x + 10√x + 12

x −√x −6

A = (√x + 1)(x −√x + 6)

(√x + 1)(√x −3) −(√x + 1)(√x −8)

(√x + 1)2 −2(√x + 2)(√x + 3)

(√x + 2)(√x −3)

A = x −√x + 6 √x −3 − √x −8 √x + 1 −2(√x + 3) √x −3

A = x + 8 √x + 1

Vậy A = x + 8 √x + 1 với x ≥0, x ̸= 9

2.

Điều kiện xác định: x ≥0, x ̸= 9

Đặt B = 4

A = 4 x + 8 √x + 1 Vì x ≥0 nên x + 8 > 0

⇒B > 0(1)

Xét B −1 = 4(√x + 1)

x + 8 −1 = −(√x −2)2

x + 8 ≤0

⇒B ≤1(2)

Từ(1), (2) ⇒0 < B ≤1 mà B nguyên nên B = 1

Khi đó thì dấu "=" ở(2) xảy ra: √x −2 = 0

x = 4 (Thỏa mãn)

Vậy x = 4

Câu 2. (Cù Thanh Bình)

Ta có: x = √

5 − √

3 √

5 + √

3 = 4 − √

15

Dễthấy a ̸= 0(Vì nếu a = 0 thì (d) cắt (P) tại một điểm)

Xét phương trình hoành độgiao điểm của (P) và (d)

ax2 = bx −1 ⇔ax2 −bx + 1 = 0(1)

Do (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay ∆> 0

4 Cù Thanh Bình - Hoàng Văn Quyền

⇒b2 −4a > 0 ⇔b2 > 4a

Vì hoành độmột điểm là x = 4 − √

15 là nghiệm của phương trình (1)

⇒a(4 − √

15)2 −b(4 − √

15) + 1 = 0

⇔31a −8 √

15a −4b + √

15b + 1 = 0 √

15(b −8a) = 4b −31a −1

Nếu b −8a ̸= 0 ⇒ √

15 = 4b −31a −1

b −18a (2)

Ta thấy vếtrái (2) là sốvô tỷ, vếphải là sốhữu tỉnên vô lý.

Nếu b −8a = 0 ⇒4b −31a −1 = 0

Từđó tìm được (a, b) = (1, 8) (Thỏa mãn)

Vậy (a, b) = (1, 8)

Câu 3. (Hoàng Văn Quyền-Cù Thanh Bình)

1. ĐKXĐ: x ≥−1 Ta có √

x3 + 1 + x2 −3x −1 = 0

⇔ p

(x + 1)(x2 −x + 1) + (x2 −x + 1) −2(x + 1) = 0

⇔( p

(x2 −x + 1) − √

x + 1)( p

(x2 −x + 1) + 2 √

x + 1) = 0

Ta xét 2 trường hợp sau:

(a)

p

(x2 −x + 1) − √

x + 1 = 0

⇔ p

(x2 −x + 1) = √

x + 1

⇔x2 −x + 1 = x + 1

⇔x2 −2x = 0 ⇔x(x −2) = 0

Do đó x = 2(tm) hoặc x = 0(tm) (b)

p

(x2 −x + 1) + 2√x + 1 = 0

Điều này vô lí do x2−x+1 = x −1

2

2 + 3

4 > 0 nên p

(x2 −x + 1)+2√x + 1 > 0

Vậy tóm lại phương trình có tập nghiệm S = {0; 2}

2. ĐKXĐ:

  

 

x ≥−1 y ≥0 xy2 + 4x + y2 + 4 ≥0 (√x + 1 + p

y2 + 4 + √y = 4(1)

2 p

xy2 + 4x + y2 + 4 −y + 4√y = 8(2)