Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2024 trường chuyên KHTN - Hà Nội

Lời giải đềthi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2024 −2025

Trường THPT Chuyên Khoa học Tựnhiên

Môn thi: Toán (vòng 1)

Nguyễn Nhất Huy - Trần Nguyễn Đức Nhật

Nguyễn Tiến Lâm - Lê Thanh Lâm

Phan Anh Quân - Trịnh Huy Vũ

1. Phần đềthi

Câu 1 (3,5 điểm).

1) Giải phương trình

1 √

5x2 + 10x + 30 + 1 3 √

x2 −2x + 6 = 1 3 √

5 + 1 √

x4 + 8x2 + 36.

2) Giải hệphương trình   

 

1

x + 1

y

(3 + xy) = 8

x y + 2y

x + 1

x + 1

y = 5.

Câu 2 (2,5 điểm).

1) Tìm các sốnguyên dương x, y, z thỏa mãn hệphương trình 27x3 + 27x2 + 10y = (x + 3z)3, 27y3 + 27y2 + 10x = (y + 3z)3.

2) Cho a, b, c là các sốthực dương thoảmãn điều kiện

(a + 2)b2 + (b + 2)c2 + (c + 2)a2 ≥8 + abc.

Chứng minh rằng

2(ab + bc + ca) ≤a2(a + b) + b2(b + c) + c2(c + a).

Câu 3 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm P thuộc cạnh AB (P khác A và B). Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác PAD.

1) Chứng minh rằng tứgiác PJDB nội tiếp.

2) Gọi H là trực tâm của tam giác PJD. S là giao điểm của JH và AD. Chứng minh rằng SH = SD.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 2

3) Gọi L là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác PBC. K là trực tâm của tam giác LPC. Đường tròn nội tiếp tam giác PCD tiếp xúc với CD tại E. Lấy F thuộc đoạn thẳng CD sao cho CF = DE. Chứng minh rằng tam giác FHK vuông cân.

Câu 4 (1 điểm). Cho bảng ô vuông kích thước (2023×2023), ô vuông kích thước có kích thước (1 × 1) được gọi là ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông đơn vịcủa bảng được tô bằng một trong hai màu đen hoặc trắng, sao cho mỗi ô vuông đơn vịđược tô màu đen được kềvới ít nhất ba ô vuông đơn vịđược tô màu trắng (hai ô vuông đơn vịcó cạnh chung nhau được gọi là kềnhau). Hỏi sốô vuông đơn vịđược tô màu đen nhiều nhất là bao nhiêu?

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3

2. Phần lời giải

Câu 1: (3,5 điểm)

1) Giải phương trình

1 √

5x2 + 10x + 30 + 1 3 √

x2 −2x + 6 = 1 3 √

5 + 1 √

x4 + 8x2 + 36.

2) Giải hệphương trình   

 

1

x + 1

y

(3 + xy) = 8

x y + 2y

x + 1

x + 1

y = 5.

Lời giải.

1) Chú ý là x4 + 8x2 + 36 = (x2 + 6)2 −4x2 = (x2 −2x + 6)(x2 + 2x + 6), nên phương trình tương đương với 1 √

x2 + 2x + 6 −1

3

1 √

x2 −2x + 6 −1 √

5

= 0

Đến đây, xét hai trường hợp:

• 1 √

x2 + 2x + 6 −1

3 = 0, tương đương x2 + 2x + 6 = 9, giải ra được x = 1 hoặc

x = −3.

• 1 √

x2 −2x + 6 −1 √

5 = 0, tương đương x2 −2x + 6 = 5, giải ra x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là {1, −3}.

2) Điều kiện xác định: x, y ̸= 0.

Hệphương trình tương đương với    

  

1

x + 1

y

(3 + xy) = 8 1

x + 1

y

(x + 2y + 1) = 8.

Hai phương trình trên cho ta 1

x + 1

y ̸= 0 nên suy ra

3 + xy = x + 2y + 1.

Phương trình này tương đương với

(x −2)(y −1) = 0

và tìm được x = 2 hoặc y = 1.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 4

• Khi x = 2 thì thay vào phương trình thứhai của hệ, ta được

y + 3

y = 9

2

tương đương 2y2 −9y + 6 = 0.

Giải phương trình trên tìm được y = 9 ± √

33 4 .

• Khi y = 1 thì thay vào phương trình thứhai của hệ, ta được

x + 3

x = 4

hay tương đương x2 −4x + 3 = 0.

Giải tìm được x = 1 hoặc x = 3.

Vậy, hệđã cho có bốn nghiệm (x; y) là

(1; 1), (3; 1),

2; 9 ± √

33 4

!

.