Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2024 trường chuyên KHTN - Hà Nội

Lời giải đềthi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2024 −2025

Trường THPT Chuyên Khoa học Tựnhiên

Môn thi: Toán (vòng 2)

Nguyễn Nhất Huy - Trần Nguyễn Đức Nhật

Lê Thanh Lâm - Hoàng Lê Nhật Tùng

Phan Anh Quân - Trịnh Huy Vũ

1. Phần đềthi

Câu 1 (3,5 điểm).

1) Giải hệphương trình x4 + 4y4 −5x2y2 = 4 (3x + 4y −2)(x2 + 2y2 −3xy) = 4.

2) Giải phương trình

√x + √

3 −2x = 1 + √

2 −x + 1

3

√

x −1.

Câu 2 (2,5 điểm).

1) Tìm các sốnguyên dương thoảmãn đẳng thức

(x + y)3 + 6xy + 3y2 + y = 8x3 + 9x2 + 1.

2) Giảsửx1, x2, . . . , x2024 là các sốthực dương thoảmãn x1x2 . . . x2024 = 1. Hãy tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

M = (x2 1 −x1 + 1)(x2 2 −x2 + 1) . . . (x2 2024 −x2024 + 1).

Câu 3 (3 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O). E, F lần lượt là trung điểm của CA, AB. Điểm P di chuyển trên cung nhỏBC (P khác B, C). Gọi M, N lần lượt là giao điểm của PC, PB với EF. AM, AN cắt (O) theo thứtựtại Q, R (Q, R khác A).

1) Chứng minh rằng tứgiác AFPM nội tiếp và [ EPF = [ QPR.

2) Chứng minh rằng giao điểm của QE và RF nằm trên (O).

3) Lấy S, T lần lượt thuộc vào các đường thẳng CA, AB sao cho ba đường thẳng ET, FS, AP song song với nhau. Gọi K và L lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác NFS và MET. Đường thẳng qua K vuông góc với AB cắt đường thẳng qua L vuông góc với AC tại J. Chứng minh rằng J luôn nằm trên một đường thẳng cốđịnh khi P thay đổi.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 2

Câu 4 (1 điểm). Tìm tất cảcác sốnguyên dương m sao cho có thểcắt hình vuông có cạnh bằng m thành đúng 5 hình chữnhật mà độdài 10 cạnh của 5 hình chữnhật đó được lấy từcác số1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 và mỗi sốđược lấy đúng một lần.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3

2. Phần lời giải

Câu 1: (3,5 điểm)

1) Giải hệphương trình x4 + 4y4 −5x2y2 = 4 (3x + 4y −2)(x2 + 2y2 −3xy) = 4.

2) Giải phương trình

√x + √

3 −2x = 1 + √

2 −x + 1

3

√

x −1.

Lời giải.

1) Hệphương trình tương đương với ( (x −y)(x −2y)(x + y)(x + 2y) = 4, (x −y)(x −2y)(3x + 4y −2) = 4 .

Hệtrên cho ta (x + y)(x + 2y) = 3x + 4y −2 hay

(x + y −1)(x + 2y −2) = 0

Suy ra x + y = 1 hoặc x + 2y = 2.

• Nếu x + y = 1, thếy = 1 −x vào phương trình đầu tiên ta được

(2x −1)(3x −2)(2 −x) = 4

tương đương với x(6x2 −19x + 16) = 0.

Do 6x2 −19x + 16 = 6 x −19

12

2 + 23

144 > 0 nên ta phải có x = 0, y = 1.

• Nếu x + 2y = 2, thếx = 2 −2y vào phương trình đầu ta được

(2 −3y)(1 −2y)(2 −y) = 1

tương đương (y −1)(6y2 −13y + 3) = 0

đến đây tìm được các nghiệm (x, y) của hệphương trình là

(0; 1),

−1 − √

97 6 ; 13 + √

97 12

!

,

−1 + √

97 6 ; 13 − √

97 12

!

.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 4

Vậy hệphương trình đã cho có đúng ba nghiệm (x; y) là

(0; 1),

−1 − √

97 6 ; 13 + √

97 12

!

,

−1 + √

97 6 ; 13 − √

97 12

!

.

2) Điều kiện xác định: 1 ≤x ≤3

2.

Ta sẽchứng minh với điều kiện trên của bài toán thì √

2 −x + 1 ≥√x + √

3 −2x.

Thật vậy, bình phương hai vếta có

1 + 2 −x + 2 √

2 −x ≥x + 3 −2x + 2 p

x(3 −2x).

hay cần chứng minh √

2 −x ≥ p

x(3 −2x).

Bình phương hai vếlại có 3x −2x2 ≤2 −x hay 2(x −1)2 ≥0 (luôn đúng). Do đó ta có

1 + √

2 −x + 1

3

√

x −1 ≥1 + √

2 −x ≥√x + √

3 −2x

dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi x = 1. Nghiệm này thoảmãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.