Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hưng Yên

Đềthi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025 Trang 1

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

HƯNG YÊN NĂM HỌC 2024 – 2025

ĐỀCHÍNH THỨC Bài thi: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên: Toán, Tin học)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề

Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức A = x√x + 26√x −19

x + 2√x −3 − 2√x √x −1 − 6 √x + 3 + 1 với x ≥0, x ̸= 1.

1. Rút gọn A.

2. Tìm x để √x + 3 A = 10√x.

Câu II (2,0 điểm).

1. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng (d) : y = −2x + 3 và Parabol (P) : y = x2. Tìm tọa độcác

giao điểm của (d) và (P).

2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 −2y(x −y) = 2 −2x.

Câu III (2,0 điểm).

1. Giải phương trình x2 + x + 2 −(x + 2) √

x2 −x + 2 = 0.

2. Giải hệphương trình

  

 

x2 + y2 = 5

x3 + 2y3 = 10x + 10y

Câu IV (3,0 điểm).

1. Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB) nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R. Kẻ

dây cung BD vuông góc với AC, H là giao điểm của AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng

với A qua H. Đường tròn tâm O′ đường kính EC cắt đoạn BC tại I (I khác C).

a) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.

b) Khi điểm B thay đổi thì điểm H cũng thay đổi. Tìm vịtrí của điểm H trên đoạn AC đểdiện tích tam

giác O′IH là lớn nhất.

2. Một xô bằng tôn dạng hình nón cụt (giảsửmép không đáng kể, đáy nhỏbịt tôn) có các bán kính đáy là

17 (cm) và 10 (cm), chiều cao 24 (cm). Tính diện tích tôn đểlàm xô.

Câu V (1,0 điểm). Cho các sốthực a, b, c thỏa mãn

  

 

a > 0, b > 0, c ≥2009

a + b + c = 2025 .

Tìm giá trịlớn nhất của P = abc.

—— HẾT ——

Trang 2 Đềthi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025

Câu 1

Cho biểu thức A = x√x + 26√x −19

x + 2√x −3 − 2√x √x −1 − 6 √x + 3 + 1 với x ≥0, x ̸= 1.

1. Rút gọn A.

2. Tìm x để √x + 3 A = 10√x.

Lời giải

1. Ta có:

A = x√x + 26√x −19

x + 2√x −3 − 2√x √x −1 − 6 √x + 3 + 1

A = x√x + 26√x −19 −2√x √x + 3 −6 √x −1 + x + 2√x −3 √x + 3 √x −1 .

A = x√x −x + 16√x −16 √x + 3 √x −1

A =

x + 16 √x −1

√x + 3 √x −1

A = x + 16 √x + 3

Vậy A = x + 16 √x + 3 với x ≥0, x ̸= 1.

2. Ta có

√x + 3 A = 10√x ⇔x + 16 = 10√x

⇔x −10√x + 16 = 0 ⇔ √x −8 √x −2 = 0 ⇔



 x = 4 (thỏa mãn điều kiện xác định)

x = 64 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy x = 4 hoặc x = 64 thì √x + 3 A = 10√x.

Câu 2

1. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng (d) : y = −2x + 3 và Parabol (P) : y = x2. Tìm tọa

độcác giao điểm của (d) và (P).

2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 −2y(x −y) = 2 −2x.

Lời giải

1. Xét phương trình hoành độgiao điểm (d) và (P), ta có

Đềthi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025 Trang 3

x2 = −2x + 3 ⇔x2 + 2x −3 = 0 ⇔



 x = −3 ⇒y = 9

x = 1 ⇒y = 1

Vậy tọa độgiao điểm của (d) và (P) là (1; 1) và (−3; 9).

2. Ta có

x2 −2y(x −y) = 2 −2x

⇔x2 −2xy + 2y2 + 2x = 2.

⇔2x2 −4xy + 4y2 + 4x = 4.

⇔(x −2y)2 + (x −2)2 = 8.

Vì (x −2)2 và (x −2y) là sốchính phương và 0 ≤(x −2)2, (x −2y)2 ≤8. Do đó

  

 

(x −2y)2 = 4

(x −2)2 = 4 Ta có

bảng giá trịsau

x −2 2 −2 2 −2

x −2y 2 −2 −2 2

x 4 0 4 0

y 1 1 3 −1

Vậy (x, y) ∈ (4; 1); (0; 1); (4; 3); (0; −1) .

Câu 3

1. Giải phương trình x2 + x + 2 −(x + 2) √

x2 −x + 2 = 0.

2. Giải hệphương trình

  

 

x2 + y2 = 5

x3 + 2y3 = 10x + 10y

Lời giải

1. Điều kiện xác định x2 −x + 2 ≥0 (đúng ∀x).

Đặt √

x2 −x + 2 = t(t > 0), phương trình đã cho trởthành

t2 + 2x −(x + 2)t = 0 ⇔(t −x)(t −2) = 0 ⇔



 t = x

t = 2

Trường hợp 1: t = x, tức là

√

x2 −x + 2 = x ⇔

  

 

x ≥0

x2 −x + 2 = x2 ⇔

  

 

x ≥0

x = 2