Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 - 2025 sở GDĐT Đồng Nai

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2024-2025

ĐỀCHÍNH THỨC Môn Toán học (môn chuyên) Thời gian làm bài 150 phút (Đềthi gồm một trang có năm bài).

Bài 1. (2 điểm)

1) Rút gọn biểu thức P = x√x −8 √x −2 −2√x : √x −5√x −4 √x + 5

(với 0 ≤x ̸= 4).

2) Tìm tất cảcác giá trịcủa tham sốm đểphương trình x2 −2mx + m −3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x2 1 + x2 2 = 8.

Bài 2. (1,5 điểm)

1) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 + 4xy + 3x + 6y = 4.

2) Giải hệphương trình

( x2 −2xy + 6x −12y = 0

(x −y + 5)4 + (y + 5)2 = 2. Bài 3. (1,5 điểm)

1) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d, với b, c, d là các sốnguyên. Biết rằng P(x) có một nghiệm x = √

2 và P(1) = 4. Tìm b, c, d.

2) Cho ba sốthực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥3

2· Chứng minh rằng: p

(a + b)2 + 3 + p

(b + c)2 + 3 + p

(c + a)2 + 3 ≥6. Bài 4. (2 điểm)

1) Tìm các sốnguyên dương x và y thỏa mãn lcm(x, y) + 2.gcd(x, y) = 61. (Với lcm(a, b), gcd(a, b) lần lượt là ký hiệu bội chung nhỏnhất, ước chung lớn nhất của hai sốnguyên dương a và b).

2) Tìm sốnguyên tốp đển = 2p + p2 là sốnguyên tố.

3) Chứng minh rằng với mọi cách chọn 7 sốbất kỳtrong 12 sốnguyên dương đầu tiên, ta luôn tìm được hai sốa và b trong 7 sốđó sao cho ab + 1 là sốchính phương.

Bài 5. (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt đường trung trực đoạn thẳng BD tại điểm P. Hai đường thẳng DP và AC cắt nhau tại điểm E.

1) Chứng minh tứgiác ABDE nội tiếp đường tròn.

2) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng AP và đường tròn (O), với Q khác A. Chứng minh \ PDQ = \ PAD.

3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AD và đường tròn (O), với K khác A. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng CQ và DP. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. HẾT (Các thí sinh được sửdụng máy tính cầm tay, không được sửdụng tài liệu). Họvà tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sốbáo danh: ..... Trường, trung tâm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài Ý Nội dung Điểm 1. 2,00 1) Rút gọn biểu thức: 1,00

P = x√x −8 √x −2 −2√x : √x −5√x −4 √x + 5

(với 0 ≤x ̸= 4)

= (√x )3 −23

√x −2 −2√x : √x (√x + 5) −5√x + 4 √x + 5

0,25

= (√x −2)(x + 2√x + 4) √x −2 −2√x · √x + 5 x + 5√x −5√x + 4

0,25

= (x + 2√x + 4 −2√x ) · √x + 5

x + 4

0,25

= √x + 5. 0,25 2) Tìm m: 1,00 Ta có x2 −2mx + m −3 = 0 (1). △ ′ = (−m)2 −1.(m −3) = m2 −m + 3 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔△ ′ = m2 −m + 3 > 0

0,25

Áp dụng hệthức Vi-ét ta có x1 + x2 = 2m và x1x2 = m −3. 0,25 Vậy x2 1 + x2 2 = 8 ⇔(x1 + x2)2 −2x1x2 = 8 ⇔(2m)2 −2(m −3) = 8 ⇔2m2 −m −1 = 0. 0,25

⇔m = 1 (nhận) hoặc m = −1

2 (nhận) (vì 2 + (−1) + (−1) = 0).

Do đó có hai giá trịcần tìm là m = 1, m = −1

2 ·

0,25

2. 1,50 1) Giải phương trình nghiệm nguyên: 0,50 Ta có 2x2 + 4xy + 3x + 6y = 4, với x, y ∈Z. ⇔2x(x + 2y) + 3(x + 2y) = 4 ⇔(x + 2y)(2x + 3) = 4 (1). Vì x , y ∈Z nên x + 2y, 2x + 3 ∈Z và 2x + 3 là sốlẻ.

Vậy (1) ⇔

( 2x + 3 = 1

x + 2y = 4 hoặc

( 2x + 3 = −1

x + 2y = −4

0,25

⇔

 



x = −1

y = 5

2

(loại) hoặc

( x = −2 y = −1 (nhận).

Do đó phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x ; y) là (−2 ; −1).

0,25

Cách 2: 0,50 Giải như cách 1, phương trình đã cho tương đương (x + 2y)(2x + 3) = 4 (1). Vì x , y ∈Z nên x + 2y, 2x + 3 ∈Z

Vậy (1) ⇔

( 2x + 3 = 1

x + 2y = 4 (I) hoặc

( 2x + 3 = −1

x + 2y = −4 (II) hoặc

( 2x + 3 = 2

x + 2y = 2

hoặc

( 2x + 3 = −2

x + 2y = −2 hoặc

( 2x + 3 = 4

x + 2y = 1 hoặc

( 2x + 3 = −4

x + 2y = −1.

0,25

Trang 1