Đề thi vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 - 2025 trường chuyên Hùng Vương - Gia Lai

Nhật ký Toán học

1

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TỈNH GIA LAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2024 - 2025

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Môn: TOÁN

ĐỀCHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kểthời gian giao đề) (Đềthi có 01 trang) Ngày thi: 8/6/2024 Họvà tên thí sinh...........................................................................Sốbáo danh........................

Câu 1: (2 điểm).

a) Rút gọn biểu thức A =

Ç 1 p√x + 4 −2 − 1 p√x + 4 + 2

å

: 1 √x.

b) Cho phương trình x2 −(m −1)x −2(m + 1) = 0 (với m là tham số). Tìm m đểphương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 1x2 + x1x2 2 = x1 + x2.

Câu 2: (2 điểm).

a) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = ( √

2 + 1)x + √

2 + 2. Tìm tọa độgiao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d).

b) Tìm tất cảnghiệm nguyên (x; y) của phương trình x2 −4xy + 5y2 = 2(x −y + 1).

Câu 3: (3 điểm). Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cốđịnh, I là điểm thuộc đoạn thẳng AO sao cho AI = 2IO. Đường thẳng qua I vuông góc với đường thẳng AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt M và N. Điểm C di động trên cung nhỏMB (C không trùng với M và B), E là giao điểm của hai đường thẳng AN và BM. Đường thẳng qua E vuông góc với đường thẳng AB cắt đường thẳng AM tại F.

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng AC và MN. Chứng minh rằng

AD.AC −AI.IB = AI2.

c) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆MCD. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

P = 2KM.KB −MK.MB.

Câu 4: (2 điểm).

a) Giải phương trình 3x + 2 p

(x2 + 5)(x −1) = x2 + 8.

b) Giải hệphương trình ß x√12 −y + p

y(12 −x2) = 12 x3 = 8x + 1 + 2√y −2 (x, y ∈R).

Câu 5: (1 điểm). Cho a, b, c là các sốthực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trịlón nhất của biểu thức

P = 1 a2 + 2b2 + 3 + 1 b2 + 2c2 + 3 + 1 c2 + 2a2 + 3 + 3

2

————————————–Hết————————————–

1/7 p 10C3A, THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai

Nhật ký Toán học

2

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN 10 (CHUYÊN) THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI 2024 - 2025

PHAN MINH ĐỨC - NGUYỄN KHẮC GIA KIÊN ĐOÀN MINH DŨNG - NGUYỄN HỮU CHIẾN THẮNG

c Câu .1 (2 điểm).

a) Rút gọn biểu thức A =

Ç 1 p√x + 4 −2 − 1 p√x + 4 + 2

å

: 1 √x.

b) Cho phương trình x2 −(m −1)x −2(m + 1) = 0 (với m là tham số). Tìm m đểphương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 1x2 + x1x2 2 = x1 + x2.

Ê Lời giải.

a) Điều kiện: x > 0. Với x > 0 ta có:

A =

Ç 1 p√x + 4 −2 − 1 p√x + 4 + 2

å

: 1 √x

=

Çp√x + 4 + 2 −( p√x + 4 −2)

( p√x + 4 −2)( p√x + 4 + 2)

å

; 1 √x

=

Çp√x + 4 + 2 − p√x + 4 + 2 √x + 4 −4

å

; 1 √x

= 4 √x : 1 √x = 4 √x.√x = 4.

Vậy với x > 0 thì P = 4.

b) Ta có phương trình: x2 −(m −1)x −2(m + 1) = 0 (với m là tham số). Đểphương trình đã cho có nghiệm thì:

∆≥0 ⇔(m −1)2 + 8(m + 1) ≥0 ⇔m2 + 6m + 9 ≥0 ⇔(m + 3)2 ≥0 (luon dung ∀m)

Theo định lí Vi-ét ta có: ß x1 + x2 = m −1 x1x2 = −2(m + 1) (1)

Ta có: x2 1x2 + x1x2 2 = x1 + x2 ⇔x1x2(x1 + x2) = x1 + x2. (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

−2(m + 1)(m −1) = m −1 ⇔ −2(m2 −1) = m −1 ⇔2m2 + m −3 = 0 ⇔(m −1)(2m + 3) = 0

⇔

"m = 1

m = −3

2

Ta thấy các giá trịm vừa tìm được thỏa mãn điều kiện. Vậy m = 1; m = −3

2 là các giá trịthỏa

mãn yêu cầu bài toán.

2/7 p 10C3A, THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai