Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 - 2025 sở GDĐT Kon Tum

Đềthi và lời giải đềvào 10 chuyên Kon Tum Trang 1

UBND TỈNH KON TUM KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2024 – 2025

ĐỀCHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Môn chuyên)

Ngày thi: 04/6/2024

Thời gian: 150 phút (không kểthời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm).

1) Chứng minh a = 4 3 − √

7 − 6 √

2 q

4 − √

7 là một sốtựnhiên.

2) Cho biểu thức P = √x + 1 √x −1 − √x −1 √x + 1 + 4√x : x2 + 4x√x √x + 4

với x > 0, x ̸= 1. Tìm x đểP < 0.

Câu 2 (2,0 điểm).

1) Giải phương trình √

x2 + x + 2 · √

x2 + x + 2 + 1 = 6.

2) Cho phương trình x2 + (m + 1)x −2m2 + 5m −2 = 0 (m là tham số). Tìm tất cảcác giá trịcủa m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 2x1 −5x2 = 7.

Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O, AB < AC. Các đường

cao AD, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H (D, M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB). Các

đường thẳng MN và BC cắt nhau tại điểm E, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại điểm G (G không trùng

với A), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm A′ (A′ không trùng với A), I là trung điểm của đoạn thẳng

BC.

1) Chứng minh EB · EC = EN · EM = EG · EA.

2) Chứng minh tứgiác DIMN nội tiếp.

3) Tính tỉsố AA′

OI + HD.

Câu 4 (2,0 điểm).

1) Giải hệphương trình

  

 

√

x2 + 2024 + x p

y2 + 2024 −y = 2024 √x + 4 + 2x2 = 9y −√y −1 + 10

2) Tìm tất cảcác cặp sốtựnhiên (x, y) thỏa mãn x2 + 5y2 + 2x −4xy −4y = 168.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các sốthực thỏa mãn a ≥0, b ≥0, c ≥0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trịnhỏ

nhất của biểu thức

Q = a 1 + bc + b 1 + ca + c 1 + ab.

Trang 2 Đềthi và lời giải đềvào 10 chuyên Kon Tum

LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Chứng minh a = 4 3 − √

7 − 6 √

2 q

4 − √

7 là một sốtựnhiên.

2) Cho biểu thức P = √x + 1 √x −1 − √x −1 √x + 1 + 4√x : x2 + 4x√x √x + 4

với x > 0, x ̸= 1. Tìm x đểP < 0.

Giải

1) Ta có a = 4 3 − √

7 − 6 √

2 q

4 − √

7 = 6 + 2 √

7 −2 −2 √

7 = 4 là sốtựnhiên.

2) Ta có P = √x + 1 √x −1 − √x −1 √x + 1 + 4√x : x2 + 4x√x √x + 4

với x > 0, x ̸= 1.

P = x + 2√x + 1 −x + 2√x −1 + 4x√x −4√x √x + 1 √x −1 · 1 x√x

P = 4x√x

x −1 · 1 x√x = 4 x −1.

ĐểP < 0 ⇔x −1 < 0 ⇔x < 1.

Kết hợp ĐKXĐ thì 0 < x < 1 thỏa mãn P < 0.

Vậy 0 < x < 1 thì P < 0.

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình √

x2 + x + 2 · √

x2 + x + 2 + 1 = 6.

2) Cho phương trình x2 + (m + 1)x −2m2 + 5m −2 = 0 (m là tham số). Tìm tất cảcác giá trịcủa m

đểphương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 2x1 −5x2 = 7.

Giải

1)

√

x2 + x + 2 · √

x2 + x + 2 + 1 = 6.

Điều kiện xác định: x2 + x + 2 ≥0 (luôn đúng)

Đặt √

x2 + x + 2 = t (t > 0), phương trình đã cho trởthành

t(t + 1) = 6 ⇔t2 + t −6 = 0 ⇔



 t = 2 (thỏa mãn)

t = −3 (không thỏa mãn)

Đềthi và lời giải đềvào 10 chuyên Kon Tum Trang 3

Với t = 2, tức là √

x2 + x + 2 = 2 ⇔x2 + x −2 = 0 ⇔



 x = −2 (thỏa mãn ĐKXĐ)

x = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) .

Vậy phương trình có nghiệm x = −2 và x = 1.

2) Ta có ∆= (m + 1)2 −4(−2m2 + 5m −2) = 9m2 −18m + 9 = 9(m −1)2.

Đểphương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔∆> 0 ⇔m ̸= 1.

Áp dụng hệthức Vi – ét, ta có

  

 

x1 + x2 = −(m + 1) (1)

x1x2 = −2m2 + 5m −2 (2) Lại có 2x1 −5x2 = 7 (3).

Từ(1), (3) ta có hệphương trình

  

 

x1 + x2 = −(m + 1)

2x1 −5x2 = 7 ⇔

      

     

x1 = −5m + 2

7

x2 = −2m −9

7 Thay x1 = −5m + 2

7 , x2 = −2m −9

7 vào (2) ta được

−5m + 2

7 · −2m −9 7 = −2m2 + 5m −2

⇔27m2 −51m + 20 = 0 ⇔





m = 4

3 (thỏa mãn ĐK)

m = 5

9 (thỏa mãn ĐK)

.

Vậy m ∈ 4

3; 5

9

.

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O, AB < AC. Các đường cao

AD, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H (D, M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB).

Các đường thẳng MN và BC cắt nhau tại điểm E, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại điểm G (G

không trùng với A), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm A′ (A′ không trùng với A), I là trung

điểm của đoạn thẳng BC.

1) Chứng minh EB · EC = EN · EM = EG · EA.

2) Chứng minh tứgiác …