Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán năm 2024 - 2025 sở GDĐT Lào Cai

Lời giải đềtoán (chuyên) tuyển sinh vào 10 tỉnh Lào Cai 2024 Z Pytago Education

Pytago

EDUCATION

LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀTOÁN (CHUYÊN)

KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC

2024 - 2025

Câu 1a (1,0 điểm)

Tính giá trịnhỏnhất của biểu thức P = x√x −3 x −2√x −3−2(√x −3) √x + 1 + √x + 3 3 −√x, với x ≥0; x ̸= 9.

Lời giải. Ta có P = x√x −3 x −2√x −3 −2(√x −3) √x + 1 + √x + 3 3 −√x

= x√x −3 −2(√x −3)2 −(√x + 3)(√x + 1)

(√x + 1)(√x −3)

= (√x −3)(x + 8)

(√x + 1)(√x −3) = x + 8 √x + 1

= √x −1 + 9 √x + 1 = √x + 1 + 9 √x + 1 −2.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có P ≥2 ·

(√x + 1) · 9 √x + 1 −2 = 4.

Dấu ” = ” xảy ra khi √x + 1 = 9 √x + 1 ⇔√x + 1 = 3 ⇔x = 4.

Vậy min P = 4 tại x = 4.

Câu 1b (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các sốthực dương thỏa mãn a + b + c − √

ab − √

bc −√ca = 0. Tính giá trịcủa

biểu thức P = 2023a2023

c2023 + 2024b2024

c2024 + 2025c2025

a2025

Lời giải. Ta có a + b + c − √

ab − √

bc −√ca = 0

⇔2a + 2b + 2c −2 √

ab −2 √

bc −2√ca = 0

⇔(√a − √

b)2 + ( √

b −√c)2 + (√c −√a)2 = 0

⇔a = b = c > 0.

Thay vào P = 2023 + 2024 + 2025 = 6072.

Câu 2 (0,5 điểm)

Gọi S là tập hợp các sốtựnhiên có 3 chữsố. Lấy ngẫu nhiên một sốtừtập hợp S. Tính xác

suất đểlấy được một sốchia hết cho 7.

1

Lời giải đềtoán (chuyên) tuyển sinh vào 10 tỉnh Lào Cai 2024 Z Pytago Education

Lời giải. Ta có S = {100; 101; 102; ...; 999}

⇒Không gian mẫu Ω= S ⇒n(Ω) = 900.

Gọi A là biến cố"lấy được sốchia hết cho 7" ⇒A = {105; 112; ...; 994}.

⇒n(A) = 994 −105

7 + 1 = 128.

Vậy xác suất xảy ra biến cốA là P(A) = n(A)

n(Ω) = 32

225.

Câu 3 (1,0 điểm)

Một cửa hàng bán gạo trong 4 ngày liên tiếp và mỗi ngày (kểtừngày đầu tiên) lượng gạo

bán ra bằng r% lượng gạo còn lại của ngày hôm trước. Tính r biết rằng lượng gạo còn lại sau

ngày thứtư bằng 1

16 lượng gạo ban đầu.

Lời giải.

Điều kiện r > 0 (%)

Gọi lượng gạo ban đầu cửa hàng có là A (đvkl, A > 0)

Lượng gạo ngày đầu tiên bán được là A · r 100 Lượng gạo còn lại sau ngày đầu tiên bán là A − r 100A = A · 1 − r 100

Lượng gạo bán trong ngày thứhai là A · r 100 · 1 − r 100

Lượng gạo còn lại sau ngày thứhai bán là A · 1 − r 100

−A · r

100 · 1 − r 100

= A · 1 − r 100

2

Tương tựsuy ra lượng gạo còn lại sau ngày thứba bán là A · 1 − r 100

3

Lượng lượng gạo còn lại sau ngày thứtư bán là A · 1 − r 100

4 .

Theo đềra ta có phương trình A · 1 − r 100

4 = A

16 ⇔1 − r 100 = 1

2 ⇔r = 50 (%) (thỏa mãn).

Vậy r = 50(%).

Câu 4a (0,5 điểm)

Cho a, b, c là các sốthực dương. Chứng minh rằng

1 a2 + bc + 1 b2 + ac + 1 c2 + ab ≤a + b + c

2abc .

Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2abc a2 + bc + 2abc b2 + ac + 2abc c2 + ab ≤a + b + c. (1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 + bc ≥2a √

bc ⇒ 2abc a2 + bc ≤ √

bc.

Tương tựsuy ra 2abc a2 + bc + 2abc b2 + ac + 2abc c2 + ab ≤ √

bc + √ac + √

ab (2).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a + b ≥2 √

ab

Tương tựsuy ra √

bc + √ac + √

ab ≤a + b + c (3).

2

Lời giải đềtoán (chuyên) tuyển sinh vào 10 tỉnh Lào Cai 2024 Z Pytago Education

Từ(1), (2), (3) suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi a = b = c.

Câu 4b (0,5 điểm)

Cho x, y là các sốthực dương thỏa mãn xy ≥1. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = x y + 1 + y x + 1 + 1 xy + 1.

Lời giải.

Ta có x y + 1 + y x + 1 + 1 xy + 1 = x2

xy + x + y2

xy + y + 1 xy + 1

≥ (x + y)2

2xy + x + y + 1 xy + 1 (1) ( BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel).

Sửdụng (x + y)2 ≥4xy suy ra (x + y)2

2xy + x + y + 1 xy + 1 ≥ (x + y)2

(x + y)2

2 + x + y + 1 (x + y)2

4 + 1 = 2(x + y)

x + y + 2 + 4 (x + y)2 + 4 .

Đặt t = x + y ≥2√xy ≥2.

Ta thấy 2t t + 2 + 4 t2 + 4 ≥3

2 ⇔ (t −2)3

2(t + 2)(t2 + 4) ≥0 luôn đúng với mọi t ≥2.

Vậy min P = 3

2 tại x = y = 1.

Câu 5a (0,5 điểm)

Cho x, y là các sốnguyên dương sao cho x2 + 2y là sốchính phương. Chứng minh rằng x2 + y

là tổng của 2 sốchính phương.

Lời giải. Theo đềbài: x2 + 2y = m2 với m ∈N

⇒2y = m2 −x2

⇒m và x cùng tính chẵn lẻ⇒m + x

2 ; m −x

2 là các sốnguyên.

Ta có: x2 + y = x2 + m2 −x2

2 = 2(m2 + x2)

4 = m −x

2

2 + m + x

2

2

Ta có …