Bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN - GTNN trong các đề thi HSG Toán 7

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 1/70

CĐ11: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GTLN, GTNN

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Dạng 2.1: Bất đẳng thức về chứng minh tổng phân số tự nhiên

Dạng 2.2: Bất đẳng thức về chứng minh tổng lũy thừa

Dạng 2.3: Bất đẳng thức về chứng minh tích của một dãy

Dạng 3: Bất đẳng thức dạng chữ

Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất A. Trắc nghiệm (nếu có) Câu 1. (HSG 7 huyện Lạng Giang 2022 - 2023)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 1 10 C x x y = + − + + với 0 x ≥ là:

A. 10 B. 11 C. 1 D. 10 −

Lời giải Chọn A

Ta có: 0, 0 x x ≥ ∀≥ ; ( ) 2 2 1 0, x, y x y − + ≥ ∀ ( ) 2 2 1 0, x 0, y x x y ⇒ + − + ≥ ∀≥ ∀ ( ) 2 2 1 10 10, x 0, y C x x y ⇒ = + − + + ≥ ∀≥ ∀ Giá trị nhỏ nhất của C bằng 10 khi:

( )

2

0 0 0 1 2 1 0 2 1 0 2

x x x

x y y x y

=   = =    ⇒ ⇒    − + = = − + =     

Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng 10 khi 1 0; 2 x y = = .

Câu 2. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022)

Cho số x Z ∈ để 2018 2017 x B x − = − có giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của B là :

A. 1. B. 4 C. 3. D. 2 .

Lời giải Chọn D

Ta có: 2018 2017 x B x − = −

2017 1 2017 x x − + = −

1 1 2017 x = + −

Suy ra B đạt giá trị lớn nhất khi 2017 x − là số dương nhỏ nhất.

Mà x là số nguyên ⇒ 2017 1 x − = ⇒ 2016 x = .

Khi đó 1 1 2 B = + = . Câu 3. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 5 A y y = − + − là

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

Lời giải

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 2/70

Chọn B

Ta có: 2 5 2 5 A y y y y = − + − = − + −

Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: a b a b + ≥ + . Dấu ‘=’ xảy ra khi . 0 a b ≥ .

Ta có 2 5 2 5 3 y y y y − + − ≥ − + − = . Dấu ‘=’ xảy ra khi ( )( ) 2 5 0 2 5 y y y − − ≥ ⇒ ≤ ≤

3 A ⇒ ≥

Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 2 5 y ≤ ≤

Câu 4. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022)

Với x nguyên, giá trị lớn nhất của biểu thức 2022 2 x A x − = − là

A. 2021 B. 2020 C. 2019 D. 2018

Lời giải Chọn A

Ta có: 2022 2020 1 , 2 2 2 x A x x x x − = = + ∈ ⇒ −∈ − −  .

Để A có giá trị lớn nhất thì 2 x − là số nguyên dương nhỏ nhất, hay 2 1 1 x x − = ⇒ = .

Vậy GTLN của A là 2021 khi 1 x = .

Câu 5. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn, huyện Nam Trà My, huyện Thăng Bình, trường Đào Duy Từ 2018 - 2019; huyện Lâm Thao 2016 - 2017)

Cho ( ) 2 6 36 a b ab − + = . Giá trị lớn nhất của . x a b = là:

A. 6 B. 6 − C. 7 D. 5 Lời giải Chọn A

Ta có ( ) 2 6 36 a b ab − + =

Suy ra: ( ) 2 6 36 36 ab a b = − − ≤

Suy ra 36 6 ab ≤ ⇒ 6 ab ≤

Dấu “=” xảy ra khi 6 a b = = ±

Vậy x đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi 6 a b = = ± .

B. Tự luận Câu 1. (HSG 7 huyện Than Uyên - Lai Châu 2022 - 2023)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2024 4 2022 1 A x = − − .

Lời giải

Với mọi x ta có: 2022 1 0 4 2022 1 4 x x − ≥ ⇒ − − ≤ 1 1 4 2022 1 4 x ⇒ ≥ − −

1 1 .2024 .2024 4 2022 1 4 x ⇒ ≥ − −

2024 506 4 2022 1 x ⇒ ≥ − − .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2022 1 0 x −= 1 2022 x ⇒ = .

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7

Trang 3/70

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 506 khi và chỉ khi 1 2022 x = .

Câu 2. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023)

Cho x thoả mãn: 2 3 4 5 4 x x x x − + − + − + − = . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của x , M là

giá trị lớn nhất của x . Tính giá trị của A m M = + .

Lời giải

Áp dụng tính chất: a a ≥ , dấu “=” xảy ra khi 0 a ≥ , ta được:

2 2 x x − ≥ − dấu “=” xảy ra khi 2 0 x − ≥ .

3 3 x x − ≥ − dấu “=” xảy ra khi 3 0 x − ≥ .

4 4 x x − ≥ − dấu “=” xảy ra khi 4 0 x − ≥ .

5 5 x x − ≥ − dấu “=” xảy ra khi 5 0 x − ≥ .

Suy ra: 2 3 4 5 2 3 4 5 4 x x x x x x x x − + − + − + − ≥ − + −+ − + − = .

Dấu “=” xảy ra khi:

2 0 3 0 4 0 5 0

x x x x

− ≥  − ≥ − ≥  − ≥ 

3 4 x ⇒ ≤ ≤ .

Suy ra 3 là giá trị nhỏ nhất của x , 4 là giá trị lớn nhất của x .

Suy ra: A m M = + 3 4 = + 7 = .

Câu 3. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 3 23 A x x x x = −+ − + − +…+ − .

Lời giải

Ta có: 1 2 3 ... 23 A x x x x = −+ − + − + + − thì: 1 2 .... 11 12 13 ..... 23 A x x x x x x = −+ − + + − + − + − + − .

Áp dụng tính chất a a ≥ …