Đề kiểm tra HSG Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Kinh Môn - Hải Dương

Đềthi HSG Toán Trang 1

UBND THỊXÃ KINH MÔN ĐỀKIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2024 – 2025

MÔN: TOÁN – LỚP 9

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kểthời gian giao đề)

(Đềbài gồm có 06 câu 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức P =

2x√x + x −√x

x√x −1 −x + √x

x −1

! · x −1 2x + √x −1 + √x 2√x −1 với

x ≥0, x ̸= 1, x ̸= 1

4.

2) Cho P(x) là đa thức bậc bốn thỏa mãn P(−2) = 0 và P(x) −P(x −2) = x(x + 2)(3x + 1). Xác

định đa thức P(x).

Câu 2 (2,0 điểm).

1) Giải phương trình x2 + 5x + 1 = 4√x(x + 1).

2) Giải hệphương trình

   

  

x3 + 3xy2 = −49

x2 −8xy + y2 = 8y −17x

Câu 3 (2,0 điểm).

1) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x, y) thỏa mãn phương trình 3 x2 + 2y2 −1 −4(xy + 2y) = 0.

2) Cho a, b, c là các sốnguyên dương thỏa mãn a −b là sốnguyên tốvà 3c2 = ab + bc + ca. Chứng

minh rằng 8c + 1 là sốchính phương.

Câu 4 (2,5 điểm).

1) Cho tam giác ABC không cân, có BC = a, CA = b, AB = c. I là giao điểm ba đường phân giác

trong của tam giác ABC. D là hình chiếu vuông góc của I lên BC. Chứng minh rằng

ID = a

cot B

2 + cot C

2

và (a −b) cot C

2 + (b −c) cot A

2 + (c −a) cot B

2 = 0.

2) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N là các điểm thay đổi trên cạnh BC và CD sao

cho \ MAN = \ MAB + \ NAD, P và Q lần lượt là các giao điểm của AN và AM với BD, I là giao

điểm của MP và QN.

Trang 2 Đềthi HSG Toán

a) Chứng minh AI ⊥MN.

b) Tìm giá trịnhỏnhất của diện tích tam giác AMN khi M, N thay đổi trên BC và CD.

Câu 5 (0,5 điểm). Trong hộp có chứa 2024 viên bịmàu (mỗi viên bịchỉcó đúng một màu) trong đó

có 675 viên bịmàu đỏ, 657 viên bịmàu xanh, 675 viên bịmàu tím và 17 viên bi còn lại là các viên

bi màu vàng hoặc màu trắng (mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từhộp 123 viên bất kì.

Chứng minh rằng, trong sốcác viên bịvừa lấy ra luôn có ít nhất 36 viên bi cùng màu. Nếu người ta

chỉlấy ra từhộp 122 viên bịbất kì thì kết luận trên của bài toán còn đúng không?

Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba sốthực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + ab −2bc −2ca = 0. Chứng

minh rằng

a2 + b2 + c2

a2 + b2 + c2

(a + b −c)2 +

√

ab a + b ≥3.

——– HẾT ——–

Đềthi HSG Toán Trang 3

LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức P =

2x√x + x −√x

x√x −1 −x + √x

x −1

! · x −1 2x + √x −1 + √x 2√x −1 với

x ≥0, x ̸= 1, x ̸= 1

4.

2) Cho P(x) là đa thức bậc bốn thỏa mãn P(−2) = 0 và P(x) −P(x −2) = x(x + 2)(3x + 1).

Xác định đa thức P(x).

Giải

1) Ta có

P =

2x√x + x −√x

x√x −1 −x + √x

x −1

! · x −1 2x + √x −1 + √x 2√x −1

P =

"√x(2√x −1)(√x + 1)

(√x −1)(x + √x + 1) − √x(√x + 1) (√x + 1)(√x −1)

# · (√x + 1)(√x −1) (2√x −1)(√x + 1) + √x 2√x −1

P =

"√x(2√x −1)(√x + 1)

(√x −1)(x + √x + 1) − √x √x −1

# · √x −1 2√x −1 + √x 2√x −1.

P = √x(√x + 1)

x + √x + 1 − √x 2√x −1 + √x 2√x −1.

P = x + √x x + √x + 1.

Vậy P = x + √x x + √x + 1 với x ≥0, x ̸= 1, x ̸= 1

4.

2) Xét x = 0, ta có P(0) −P(−2) = 0 hay P(0) = P(−2) = 0.

Xét x = −2, ta có P(−2) −P(−4) = 0 hay P(−4) = P(−2) = 0.

Từđó, ta thấy P(x) nhận x = 0, x = −2 và x = −4 là nghiệm.

Vì P(x) là đa thức bậc bốn, do đó, P(x) = x(x + 2)(x + 4)(ax + b) (∗).

Xét x = 1 thì P(1) −P(−1) = 12, thay vào (*), ta có:

15(a + b) + 3(−a + b) = 12 hay 12a + 18b = 12 hay 2a + 3b = 2 (1)

Xét x = 2 thì P(2) −P(0) = 56, thay vào (*), ta có:

48(2a + b) = 56 hay 2a + b = 7

6 (2)