Đề giới thiệu thi HSG Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Gia Lộc - Hải Dương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN GIA LỘC

ĐỀ CHỌN SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2024 – 2025

MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài 150 phút

Đề gồm 01 trang (Ngày …. tháng …. năm 2024)

Câu 1: (2,0 điểm)

1) Cho biểu thức

4 2 2

6 4 2 4 2 2 1 3 1 1 4 3 x x x M x x x x x + − + = + − + − + + +

a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị lớn nhất của M

2) Tìm số dư trong phép chia ( )( )( )( ) 3 5 7 9 2040 + + + + + x x x x cho 2 12 30 x x + +

Câu 2: (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 1 2 3 2024 ... 2024 2024 2023 2022 1 − − − − + + + + = x x x x

2) Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2 3 2 1 3 8 16 x x x − + + = −

Câu 3: (2,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy

2) Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.

Câu 4: (3 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AD là tia phân giác của góc BAC

và 1 sin B 3 = .Tính giá trị của biểu thức : 2sin B 3cosB A 2sin B 3cosB − = +

2) Cho hình chữ nhật ABCD, có AD = k.AB (k > 0). Trên cạnh BC lấy điểm M, đường thẳng AM cắt CD tại N.

a) Chứng minh rằng: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì 2 2 2 1 1 k .AM AN + không đổi.

b) Tìm vị trí của M trên cạnh BC để k.AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất .

Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi a, b > 0 thoả mãn: a + b = 1 thì:

2 2 1 1 6 ab a b + ≥ + .

-----------------------Hết ----------------------

(Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)

Họ và tên học sinh:........................................................Số báo danh:..........................

Chữ ký của giám thị 1:........................................Chữ ký của giám thị 2:...................

ĐỀ GIỚI THIỆU SỐ 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN GIA LỘC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2024 - 2025

MÔN TOÁN 9 Hướng dẫn gồm 04 trang

Câu Nội dung cần đạt được Điểm

1.1.a

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

4 2 2

4 2 2 4 2 2 2

4 2

4 2 2 2 4 2

4 2 2 4 2 4 4 4 2

2 4 2 2 4 2

2 2 4 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2

2 1 3 1 1 1 1 3

2 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

. 1

1 1 1 1 1

+ − + = + − − + + − + + +

+ − = + − − + + + − +

+ + − + − − + + + −− + − = = + − + + − +

+ + = = = − + + − + + − +

x x x M x x x x x x x

x x M x x x x x x

x x x x x x x x x M x x x x x x

x x x x x M x x x x x x x x

Vậy

2

4 2 1 = − + x M x x với mọi x

0,25

0,25

1.1.b

Ta có :

2

4 2 1 = − + x M x x với mọi x

+) Nếu 0 x = ta có 0 M =

+) Nếu 0 x ≠ , chia cả tử và mẫu của M cho 2x ta có:

2 2

1 1 1 = + − M x x

Ta có:

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2. . 1 1 1     + −= − + + = − + ≥         x x x x x x x x

Nên ta có:

2 2

1 1 1 1 = ≤ + − M x x

. Dấu " " = xảy ra khi 1. x =

Vậy M lớn nhất là 1 M = khi 1 x =

0,25

0,25

1.2

Ta có: ( )( )( )( ) ( )( ) 2 2 3 5 7 9 2040 .... 12 27 12 35 2040 + + + + + = = + + + + + x x x x x x x x Đặt 2 12 30 , + + = x x t ta có: ( )( )( )( ) 3 5 7 9 2040 + + + + + x x x x ( )( ) 3 5 2033 = − + + t t

( ) 2 2 15 2040 2 2025 = + − + = + + t t t t

Vậy ta có ( )( )( )( ) ( )( ) 2 2 3 5 7 9 2033 12 30 12 32 2025 + + + + + = + + + + + x x x x x x x x

Vậy số dư trong phép chia ( )( )( )( ) 3 5 7 9 2040 + + + + + x x x x cho 2 12 30 + + x x là 2025.

0,25

0,25 0,25 0,25

2.1

1 2 3 2024 ... 2024 2024 2023 2022 1 − − − − + + + + = x x x x

1 2 3 2024 1 1 1 ... 1 2024 2024 2024 2023 2022 1 − − − − −+ −+ −+ + −+ = x x x x

2025 2025 2025 2025 ... 0 2024 2023 2022 1 − − − − + + + + = x x x x

0,25