Đề tham khảo thi HSG Toán 9 cấp tỉnh năm 2024 - 2025 sở GDĐT Ninh Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 05 bài trong 01 trang Bài 1 (4,0 điểm).

a) Cho , , a b c là các số thực khác 0 thỏa mãn 2 2 a ab c cb + = + và 2 2 a ac b bc + = + .

Tính giá trị biểu thức 1 1 1 a b c A b c a     = + + +        

.

b) Giải hệ phương trình

( )

2 2

2 2

5 ( ) 24

1 1 1 3

xy x y

x y x y

 + + + =  + =  + + 

.

Bài 2 (4,0 điểm).

a) Tìm tất cả các đa thức ( ) P x hệ số thực thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 1 2 xP x x P x − = − , với mọi

x∈. b) Xét các số thực dương thay đổi a , b , c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

3 3 3 2 2 2 2 . 2 2 a b c P a b b c c a + + + = + + + + + + + +

Bài 3 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC < ) nội tiếp đường tròn tâm O , có đường cao AH . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thẳng AI cắt đường tròn

( ) O tại điểm thứ hai M . Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua O . Đường thẳng MA′ cắt các đường thẳng AH , BC theo thứ tự tại N và K . Gọi L là giao điểm của MA và BC . Đường thẳng A I′ cắt đường tròn ( ) O tại điểm thứ hai D . Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S .

a) Chứng minh tam giác ANA′ là tam giác cân và MA MK ML MA ′⋅ = ⋅ .

b) Chứng minh 2 MI ML MA = ⋅ và tứ giác NHIK là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi T là trung điểm của cạnh SA, chứng minh ba điểm , , T I K thẳng hàng.

Bài 4 (3,0 điểm).

a) Cho ba số nguyên dương a , b , k . Biết rằng với mọi số nguyên dương c khác b thì

kc a − luôn chia hết cho c b −. Chứng minh rằng k a b = .

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( , ) x y thỏa mãn 4 2 3 2 . x x y + =

Bài 5 (3,0 điểm) Cho bảng ô vuông 4 4 × . Ở mỗi ô vuông của bảng, ta viết một số tự nhiên từ

1 đến 16, mỗi số viết một lần.

a) Có hay không cách điền số sao cho tổng của 4 số ở mọi phần của bảng vuông có dạng

như hình 1 (có thể xoay về mọi phía) đều chia hết cho 4 .

b) Có hay không cách điền số sao cho tổng của 4 số ở mọi phần của bảng vuông có dạng

như hình 2 (có thể xoay về mọi phía) đều chia hết cho 4 .

-------HẾT-------

ĐỀ THAM KHẢO

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH

CẤU TRÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

MÔN TOÁN

(Ban hành kèm theo Công văn số 1276/SGDĐT-QLCL, ngày 20/8/2024 của Sở GDĐT Ninh Bình) 1. Thời gian làm bài: 150 phút.

2. Điểm toàn bài: 20,0 điểm.

3. Hình thức: Tự luận.

4. Phạm vi kiến thức: Trong phạm vi Chương trình GDPT 2018 do Bộ GDĐT ban hành

và công văn số 1313/SGDĐT-GDTrH ngày 15/10/2021 của Sở GDĐT Ninh Bình về việc

hướng dẫn nội dung, chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS từ năm học 2021-2022.

Tỉ lệ kiến thức: Thông hiểu: 30%; Vận dụng: 40%; Vận dụng cao: 30%.

Nội dung như sau:

CẤU TRÚC ĐỀ

Câu Nội dung Điểm

1

Biến đổi đại số: a) Rút gọn, tính giá trị biểu thức nhiều biến trong đó có điều kiện liên hệ giữa các biến. b) Phương trình, hệ phương trình; bất phương trình.

4,0 điểm

2

Đa thức và bất đẳng thức: a) Đa thức. - Nghiệm của đa thức, định lí Viète, định lí Bezout, … - Giá trị đa thức, hệ số của đa thức, bậc của đa thức... - Phép toán đa thức, phương trình hàm đa thức... - Đa thức có hệ số nguyên, đa thức nhận giá trị nguyên... b) Bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. - Ứng dụng của bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz, … - Kĩ thuật chuẩn hóa, Dirichlet - Bất đẳng thức nhiều biến và quy nạp. - Ứng dụng vào giải phương trình và hệ phương trình.

4,0 điểm

3

Số học (02 hoặc 03 ý): - Quan hệ chia hết, số nguyên tố, đồng dư, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, thuật toán Euclide. - Các định lí Fermat nhỏ, Wilson, … - Số chính phương, số lập phương. - Phần nguyên, phần lẻ, hàm trần.

- Phương trình nghiệm nguyên.

3,0 điểm

4

Hình học phẳng: - Hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, ba điểm thẳng hàng, ba đường đồng quy, chứng minh song song, vuông góc, … - Các phép biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm. - Tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp; hệ thức lượng trong đường tròn

6,0 điểm