Đề giao lưu HSG Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Thọ Xuân - Thanh Hoá

PHÒNG GD & ĐT THỌ XUÂN

ĐỀ GIAO LƯU ĐỘI TUYỂN HSG CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 - 2025 Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi này có 01 trang, gồm 05 câu.

Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức 5 6 7 8 2 10 12

2 3 2 1 6

x x x x x x x A x x x x x x

+ + − − + + = − − − − + + − − với

0, 9. x x ≥ ≠ Rút gọn A, và tìm tất cả các giá trị của x để 4 A nhận giá trị nguyên.

Câu 2 (2,0 điểm): Cho a, b, c thỏa mãn 7 a b c + + = ; 23 a b c + + = ; 3 abc = .

Tính giá trị biểu thức H = 1 1 1 6 6 6 ab c bc a ca b + + + − + − + −

.

Câu 3 (2,0 điểm): Giải phương trinh: ( ) 2 2 2 9 5 ( 3 1 1) x x x x = + − + − .

Câu 4 (2,0 điểm): Giải hệ phương trình

2 2

2

2 1

3 33 3 2 1 3 6

xy x y x y

x x y x y

 + + =  +   + + + −= + + 

Câu 5 (2,0 điểm):. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 3 32 x y − = .

Câu 6 (2,0 điểm): Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện ( 1) 7 n n + + không chia hết cho 7. Chứng minh rằng 3 4 5 1 n n − − không là số chính phương.

Câu 7 (2,0 điểm): Cho 1 hộp gồm các thẻ đánh số 1;2;3;4;5;6;7;8. Mỗi thẻ khác nhau đánh các số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “ Tích của 2 thẻ được lấy ra là một số chẵn”.

Câu 8 (5,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC, BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P, Q lần lượt tại trung điểm AE, AF.

1) Chứng minh rằng trực tâm H của ∆BPQ là trung điểm của AO.

2) Các đường thẳng AB và CD thỏa mãn điều kiện gì thì diện tích tam giác BPQ nhỏ nhất.

3) Biết ∆BEF có hình vuông BMKN nội tiếp (K∈EF; M∈BE, N∈BF) sao cho tỉ số

giữa các cạnh hình vuông và bán kính đường tròn nội tiếp ∆BEF là 2 2 2 + . Tính các

góc nhọn của ∆BEF.

Câu 9 (1,0 điểm): Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 abc ≥. Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức 2 2 3 1 1 1 1 1 ( 1) 1 P a bc b ac ab c = + + + + + + + + .

---------------------------------------- HẾT ----------------------------------------

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỌ XUÂN

HƯỚNG DẪN CHẤM

GIAO LƯU ĐỘI TUYỂN HSG

CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024 – 2025

MÔN THI: TOÁN - LỚP 9

(Hướng dẫn chấm gồm có 09 trang)

Câu Nội dung Điểm

1

Cho biểu thức 5 6 7 8 2 10 12

2 3 2 1 6

x x x x x x x A x x x x x x

+ + − − + + = − − − − + + − −

với 0, 9. x x ≥ ≠

Rút gọn A, và tìm tất cả các giá trị của x để 4 A nhận giá trị nguyên.

2.0

( )( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( ) 2 1 8 2 3 2 ( 1)( 6)

1 3 3 2 1

x x x x x x x A x x x x x

+ − + + + − + = − − + − − + +

( ) 2 3 6 8

3 1 3

x x x x

x x x

+ − + − = − − − + −

0,5

3 8 3 1 x x x

x x

− − = − − +

8

1

x x x

− = − +

8 . 1 x x + = + 0,5

Theo BĐT Côsi, ta có 9 1 2 2 9 2 4 1 A x x = + + − ≥ − = + 0,5

Để 4 A ∈

thì 9 4 1 4 1 A x x x = ⇔ + = ⇔ = + (thỏa mãn). Vậy 4. x = 0,5

2

Cho a, b, c thỏa mãn 7 a b c + + = ; 23 a b c + + = ; 3 abc = .

Tính giá trị biểu thức H = 1 1 1 6 6 6 ab c bc a ca b + + + − + − + −

.

2.0

Ta có ( ) ( )

2 2 a b c a b c ab bc ca + + = + + + + +

mà 7 a b c + + = ; 23 a b c + + = nên 13 ab bc ca + + =

0,5

Ta có 7 a b c + + = 6 1 c a b ⇒ − = − − +

nên ( )( ) 6 1 1 1 ab c ab a b a b + − = − − + = − −

Tương tự ( )( ) ( )( ) 6 1 1 ; 6 1 1 bc a b c ac b a c + − = − − + − = − −

0,5