Đề chọn đội sơ tuyển HSG Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Quỳnh Lưu - Nghệ An

Câu 1: (2,0 điểm)

a. Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn

1

a +

1

2b =

1

3c Chứng minh a2 + 4b2 + 9c2 là số chính phương. b. Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

3(x2 + y2) −5(x + y) = 0 Câu 2: (6,0 điểm)

a. Giải phương trình:

(x2 + 1)2 + (3x + 2)x2 + 3x = 0 b. Giải hệ phương trình:

{3x2 + 4y2 = 20 −2xy

(x −y)(4x2 + 5y2 −20) = 1

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

3a+b

2a+c +

3b+c

2b+a +

3c+a

2c+b ≥4

Câu 4: (7,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là điểm trên cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho MAN ̂ = 450 (M không trùng B và C). AM cắt DC tại I. BD cắt AM tại E.

a. Chứng minh cos2CAN ̂ +

AB2

AI2 = 1 b. Chứng minh AB2 + DN2 = 2AE2 c. Gọi P là giao điểm của OM và BI. Chứng minh các đường thẳng AB, DM và CP đồng

quy. Câu 5: (2,0 điểm)

Trong một chiếc hộp có 100 tấm thẻ giống nhau, được đánh số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 109. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:

a. A: Rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số trên thẻ đó là một số chính phương. b. B: Rút được tấm thẻ mà ghi số lớn hơn hoặc bằng hai chữ số tận cùng của số 72026. Câu 6: (1,0 điểm)

Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác nửa đều (tam giác vuông có một góc 600) có cạnh huyền bằng 2025 và 3 đỉnh được tô cùng màu.

----------------HẾT---------------

Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ……………………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 9 NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn thi: TOÁN (Đề thi có 01 trang) Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 9 NĂM HỌC 2024-2025

Môn: TOÁN (Hội đồng chấm thi có hướng dẫn chấm chi tiết riêng sau khi thống nhất)

Câu Nội dung cần đạt Điểm Câu 1: 2.0 điểm

1.a 1.0 điểm

Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn

𝟏

𝐚+

𝟏

𝟐𝐛=

𝟏

𝟑𝐜 Chứng minh 𝐚𝟐+ 𝟒𝐛𝟐+ 𝟗𝐜𝟐 𝐥à 𝐬ố 𝐜𝐡í𝐧𝐡 𝐩𝐡ươ𝐧𝐠

Vì 1

a + 1

2b = 1

3c , nên 2b + a

2ab = 1

3c

6bc + 3ac = 2ab 2ab −6bc −3ac = 0 2(2ab −6bc −3ac) = 0 a2 + 4b2 + 9c2 = a2 + 4b2 + 9c2 + 2(2ab −6bc −3ac)

= (a + 2b −3c)2 Vậy a2 + 4b2 + 9c2 là số chính phương

0.25

0.25

0.25 1.b 1.0 điểm

Giải phương trình nghiệm nguyên dương

3(𝐱𝟐+ 𝐲𝟐) −𝟓(𝐱+ 𝐲) = 𝟎

3(x2 + y2) −5(x + y) = 0

x(3x −5) = y(5 −3y) - Nếu 3x – 5> 0, thì 5 −3y > 0, suy ra y = 1 ( vì y là số nguyên dương) với y = 1 thì x = 2

- Nếu 3x −5 ≤0, suy ra x = 1 vì x nguyên dương với x = 1 thì y = 2 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (1; 2), (2; 1)

0.25

0.25

0.25 0.25 Câu 2: 6.0 điểm

2.a 3.0 điểm

Giải phương trình (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟐+ (𝟑𝐱+ 𝟐)𝐱𝟐+ 𝟑𝐱= 𝟎

(x2 + 1)2 + (3x + 2)x2 + 3x = 0 (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0

(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + 2x) = 0 Nếu x2 + 1 + x = 0 ( phương trình vô nghiệm)

Nếu x2 + 2x + 1 = 0, x = 1 Vậy nghiệmcủa phương trình là x = 1

0.5 1.0 0.5

1.0

2.b 3.0 điểm

Giải hệ phương trình

{𝟑𝐱𝟐+ 𝟒𝐲𝟐= 𝟐𝟎−𝟐𝐱𝐲

(𝐱−𝐲)(𝟒𝐱𝟐+ 𝟓𝐲𝟐−𝟐𝟎) = 𝟏

{ 3x2 + 4y2 = 20 −2xy (1)

(x −y)(4x2 + 5y2 −20) = 1 (2)

Từ phương trình (1), ta được 3x2 + 4y2 + 2xy = 20

Thay vào phương trình (2) , (x −y)(4x2 + 5y2 −3x2 −4y2 −2xy) = 1

0.5