Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Ứng Hòa - Hà Nội

Đềthi HSG Toán 9 Ứng Hòa Trang 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ỨNG HÒA

ĐỀCHÍNH THỨC

(Đềthi gồm 01 trang)

KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI

CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 NĂM HỌC 2024 - 2025

ĐỀTHI MÔN: TOÁN 9

(Thời gian làm bài: 120 phút không kểthời gian giao đề) —————————————————————————————————————————————

Bài 1 (6,0 điểm).

1) Cho biểu thức P = 5 −x

x2 −1 + 2 x + 1 − 1 x −1

: 1 −2x

x2 −1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trịnguyên của x đểbiểu thức P là sốnguyên.

2) Cho đa thức f(x) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + x(x + 1). Tìm x đểf(x) = 20.

Bài 2 (4,0 điểm).

1) Cho n là sốtựnhiên lẻ. Chứng minh A(n) = n3 −n chia hết cho 24.

2) Tìm sốnguyên dương x, y, z thỏa mãn

  

 

x2 + y2 + z2 = 3

x + y + z + xy + yz + zx = 6

Bài 3 (3,0 điểm).

1) Một chiếc túi đựng đựng 117 đôi tất, trong đó có một sốđôi màu trắng, một sốđôi màu đen, còn lại là

các màu khác. Lấy ngẫu nhiên một đôi tất trong túi. Biết rằng xác suất đểchọn được đôi tất màu trắng

và màu đen lần lượt là 2

9 và 3

13. Tìm sốđôi tất trong túi không phải màu đen hoặc màu trắng.

2) Cho a, b, c là các sốbất kỳ. Chứng minh a2 + b2 + c2 + 1 > a + b + c.

Bài 4 (6,0 điểm). Cho △ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của

HC, N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G. Đường thẳng đi qua M vuông góc với HC và đường thẳng

đi qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng

a) △AEF ∽△ABC từđó suy ra SAEF = SABC · cos2 [ BAC.

b) BH · KM = BA · KN.

c)

s

GA3 + GB3 + GH3

GM 3 + GK3 + GN3 = 2 √

2.

Bài 5 (1,0 điểm). Cho bảng ô vuông kích thước 10cm × 10cm gồm 100 ô vuông đơn vị. Điền vào mỗi ô vuông

của bảng này một sốnguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai ô sốởhai ô vuông chung cạnh hoặc chung

đỉnh là hai sốnguyên tốcùng nhau. Chứng minh rằng trong bảng ô vuông đã cho có một sốxuất hiện ít nhất

17 lần.

Trang 2 Đềthi HSG Toán 9 Ứng Hòa

LỜI GIẢI

Câu 1. (6,0 điểm)

1) Cho biểu thức P = 5 −x

x2 −1 + 2 x + 1 − 1 x −1

: 1 −2x

x2 −1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trịnguyên của x đểbiểu thức P là sốnguyên.

2) Cho đa thức f(x) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + x(x + 1). Tìm x đểf(x) = 20.

Lời giải

1) a) ĐKXĐ: x ̸= ±1, x ̸= 1

2

P = 5 −x

x2 −1 + 2 x + 1 − 1 x −1

: 1 −2x

x2 −1

P = 5 −x + 2(x −1) −(x + 1)

(x + 1)(x −1) · (x + 1)(x −1) 1 −2x

P = 2 1 −2x

Vậy P = 2 1 −2x với x ̸= ±1, x ̸= 1

2.

b) ĐểP ∈Z thì 1 −2x 2 hay 1 −2x ∈Ư(2) = ±1; ±2

Xét các trường hợp, ta được x ∈ 0; 1; −1

2; 3

2

mà x ∈Z, x ̸= ±1, x ̸= 1

2 nên x = 0.

Vậy x = 0 là giá trịnguyên của x đểbiểu thức P là sốnguyên.

2) Ta chứng minh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

3 (∗)

Thật vậy, ta có 3A = 3n(n + 1) + 3(n −1)n + ... + 2.3.3 + 1.2.3

3A = n(n + 1) (n + 2) −(n −1) + ... + 2.3.(4 −1) + 1.2.3

3A = n(n + 1)(n + 2) −(n −1).n.(n + 1) + ... + 2.3.4 −1.2.3 + 1.2.3

3A = n(n + 1)(n + 2)

A = n(n + 1)(n + 2)

3

Áp dụng (*), ta có

f(x) = 1.2 + 2.3 + ... + x(x + 1) = x(x + 1)(x + 2)

3 = 20

Suy ra x3 + 3x2 + 2x = 60 hay x3 −3x2 + 6x2 −18x + 20x −60 = 0

(x −3)(x2 + 6x + 20) = 0

Vì x2 + 6x + 20 = (x + 3)2 + 11 > 0 nên x = 3.