Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp huyện năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Ba Vì - Hà Nội

PHÒNG GDĐT

HUYỆN BA VÌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

Năm học: 2024 - 2025

Môn: Toán 9; Ngày thi: 16/10/2024 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang) Bài I: (4 điểm)

Cho biểu thức: 𝑀𝑀= 𝑥𝑥2+2

𝑥𝑥3+1 + 𝑥𝑥−1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥+1 − 𝑥𝑥+3

𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+3 với 𝑥𝑥≠−1; 𝑥𝑥≠−3

1) Rút gọn M 2) Tìm số nguyên dương 𝑥𝑥 để 1

𝑀𝑀 đạt giá trị nguyên. Bài II: (4 điểm) Câu 1. Gia đình bác Minh thực hiện nhiều biện pháp tiết kiệm điện nên trong tháng 3, gia đình bác chỉ dùng hết 95 kWh và phải trả 161 930 đồng. Biết mức 1 sử dụng điện từ 0-50 kWh đầu tiên, mức 2 sử dụng điện từ 51-100 kWh và giá 1 kWh ở mức 2 nhiều hơn giá 1 kWh ở mức 1 là 56 đồng. Tính giá tiền 1 kWh điện sinh hoạt ở mức 1 và mức 2.

Câu 2. Giải các phương trình

a) 𝑥𝑥

1−𝑥𝑥+ 1+𝑥𝑥

𝑥𝑥= −1

2 b)

3 3 3 ( 24) ( 25) (2 49) . x x x − + − = −

Bài III: (3 điểm)

Câu 1. Biểu đồ hình bên biểu diễn số giờ nắng của các tháng trong năm 2022 của thành phố Huế. Tính số giờ nắng trung bình của các tháng trong năm 2022 của thành phố Huế. Câu 2. Trong hộp có chứa 2024 viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng 1 màu) trong đó có 800 viên bi màu đỏ, 700 viên bi màu xanh, 507 viên bi màu tím và 17 viên bi còn lại là các viên bi màu vàng hoặc màu trắng (mỗi màu có ít nhất 1 viên).

a) Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Tính xác suất để lấy được viên bi màu đỏ. b) Người ta lấy ra từ hộp 123 viên bi bất kì. Chứng minh rằng trong số các viên bi vừa lấy ra có ít nhất 36 viên bi cùng màu. Bài IV: (6 điểm)

Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC). Gọi M là trung điểm của AH, K trung điểm của CD, N là trung điểm của BH.

a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành b) Tính số đo góc BMK. c) Chứng minh rằng tồn tại điểm I sao cho khoảng cách từ điểm I đến các điểm B, M, K, C là bằng nhau.

Câu 2. Một mảnh vườn hình thang, đáy nhỏ có độ dài 4m và đáy lớn có độ dài 12m, hai góc kề đáy lớn lần lượt bằng 60o và 30o. Tính diện tích của mảnh vườn. Bài V: (3 điểm)

Câu 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 2𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 −2𝑥𝑥𝑥𝑥+ 10𝑥𝑥+ 15 = 0 Câu 2. Cho n là số nguyên dương có chữ số tận cùng bằng 3. Chứng minh rằng có một số nguyên dương m chia hết cho n sao cho trong biểu diễn thập phân của số m chỉ xuất hiện chữ số 1.

--------------Hết-------------- Họ tên thí sinh…………………………………...……SBD……………….

(Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

PHÒNG GDĐT BA VÌ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học 2024- 2025

Môn: Toán 9 Ngày thi: 16/10/2024 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Bài I: (4 điểm)

1. Rút gọn được 𝑀𝑀=

𝑥𝑥

𝑥𝑥2−𝑥𝑥+1 3 đ

2. Biểu diễn được

1

𝑀𝑀=

𝑥𝑥2−𝑥𝑥+1

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥−1 +

1

𝑥𝑥

Tìm được x = 1 (Thỏa mãn điều kiện)

0,5

0,5

Bài II: (4 điểm)

Câu 1. Gọi giá tiền 1 kWh điện sinh hoạt ở mức 1 và mức 2 lần lượt là:

x, y (x > 0, y > 0; đơn vị: đồng)

Lập được hệ phương trình 50 45 161930 56 x y y x + =   = + 

Giải hệ phương trình trên có x = 1678 và y = 1734 (thỏa mãn điều

kiện).

Vậy giá tiền 1 kWh điện sinh hoạt ở mức 1 và mức 2 lần lượt là 1678

đồng và 1734 đồng.

1 đ

1 đ

Câu 2.

a) Tìm đúng điều kiện 𝑥𝑥≠1; 𝑥𝑥≠0

Tìm được 𝑥𝑥= −1; 𝑥𝑥= 2

So sánh với điều kiện và kết luận

b. Đặt x - 24 = a và x - 25 = b.

Ta có a3 + b3 = (a + b)3 hay 3ab( a+ b) = 0 (*).

Từ (*) ta có a = 0 ; b = 0 hoặc a = -b

Tìm được nghiệm x = 24; x = 25 và x = 49

2

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

Bài III: (3 điểm)

Câu 1. Tổng số giờ nắng của12 tháng trong năm 2022 ở thành phố

Huế là:

65,4 + 199,4 + 175,8 + 224,8 + 284,9 + 259,1 + 251,7 + 263,3 + 176,

5 + 89,8 + 79,9 + 25,8 = 2096,4.

Số giờ nắng trung bình của các tháng trong năm 2022 của thành phố

Huế là: 2096, 4 : 12 = 174,7 giờ.

1,0

Câu 2.

a) Xác suất của biến cố lấy được viên bi màu đỏ là: 800

2024 = 100

253

1,0

b) Khi lấy 123 viên bi bất kì ta có thể lấy ít nhất 123 – 17 =106

viên bi gồm 3 màu: đỏ, xanh, tím.

ĐỀ CHÍNH THỨC