Đề tham khảo thi HSG tỉnh Toán THCS năm 2024 - 2025 sở GDĐT Bắc Ninh

Bài 1 (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức:

         1 1 1 1

x y xy P x y y x y x x y          .

a) Rút gọn P . b) Tìm các giá trị nguyên của ;x y để 2 P  .

2) Trong cùng một hệ toạ độ cho đường thẳng ( ) : 2 d y x   và parabol  2 : P y x  . Gọi A và

B là giao điểm của  d và  P . Tìm m để : d y x m   cắt  P tại hai điểm C và D sao

cho CD AB  . Bài 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình

3 2 2 3 3 3 2 2 x x x x      .

2) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2 3 7 5 6 0

4 9 9 2 2 4 1.

x y xy x y

x y x x y x y

                  Bài 3 (1,5 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 ab bc ca abc    . Chứng minh rằng

2 2 2 1 1 1 1 2 (2 1) (2 1) (2 1) a a b b c c       .

Bài 4 (2,5 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 3 3 8 x y xy    .

2) Cho , , a b c là những số nguyên khác 0 thỏa mãn a c  và

2 2

2 2 a a b c c b    . Chứng minh

2 2 2 a b c   không phải là số nguyên tố. Bài 5 (6,0 điểm) 1) Cho nửa đường tròn   , O R đường kính AB . Bán kính OC AB  . Điểm E thuộc đoạn OC .

Tia AE cắt nửa đường tròn  O tại M . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt OC tại D .

a) Chứng minh: tứ giác OEMB nội tiếp và MDE  cân. b) GọiBM cắt OC tại K . Chứng minh tích BM BK  không đổi khi E di chuyển trên OC và tìm vị trí của E để 2 MA MB  .

c) Cho  30 ABE  . Tính diện tích hình quạt MOB và chứng minh khi E di chuyển trên OC thì tâm đường tròn ngoại tiếp CME  thuộc một đường thẳng cố định. 2) Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C    . Bài 6 (2,0 điểm) 1) Cho đa giác đều 16 cạnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều. Tính xác suất để 3 đỉnh lấy được là ba đỉnh của một tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều. 2) Cho tập hợp   1;2;3;...;100 A  và 100 tấm thẻ. Người ta viết lên mỗi tấm thẻ một số thuộc tập

hợp A sao cho tổng của các số trên một nhóm các tấm thẻ bất kỳ không chia hết cho 101. Chứng minh rằng tất cả các số được viết trên các tấm thẻ bằng nhau. =========HẾT=========

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THAM KHẢO