Đề học sinh giỏi Toán THCS năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Hướng Hóa - Quảng Trị

PHÒNG GD & ĐT HƯỚNG HÓA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA

THCS NĂM HỌC 2024- 2025 Môn: Toán Thời gian: 150 phút, không tính thời gian giao đề

Bài 1: (3,0 điểm)

Cho biểu thức

2 1 1 4 1 1 1 : , 0, 1. 2 1 2 2 x x x A x x x x x x x

                    

1. Rút gọn .A 2. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2: (6,0 điểm)

1. Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn: 2 2 3 1 3 0 y y x x   và . x y  Tính giá trị của

biểu thức 2025 . x y A x y   

2. Cho các số nguyên , , a b c thỏa mãn 2025. ab bc ca    Chứng minh rằng

   2 2 2 2025 2025 ( 2025) P a b c    

là một số chính phương chẵn. 3. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: ( 1;4), (3; 1), (0;2). A B C   Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác . ABC Bài 3: (3,0 điểm) Bà Hoa đi chợ mua 30 con đủ các loại vịt, ngan, ngỗng hết 6 triệu đồng. Hỏi bà Hoa đã mua bao nhiêu con mỗi loại, biết rằng giá của mỗi con vịt, ngan và ngỗng lần lượt là 100 ngàn đồng, 400 ngàn đồng và 600 ngàn đồng?

Bài 4: (2,0 điểm)

Lớp 9A có 45 học sinh. Cô giáo chủ nhiệm lấy ngẫu nhiên một bạn để làm thủ quỹ. Biết rằng, xác suất lấy được bạn nữ cao hơn xác suất lấy được bạn nam là 20%. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh nam và bao nhiêu học sinh nữ?

Bài 5: (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông tại , A có đường cao . AH Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , . AC AH

a) Chứng minh rằng tam giác BNA đồng dạng với tam giác . BMC

b) Gọi D là điểm đối xứng với N qua . H Chứng minh rằng  90 . BDM  

2. Cho tam giác ABC có   75 , 60 . BAC ABC     Dựng điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho tam giác ADB vuông cân tại . D Gọi E là giao điểm của BD và . AC Chứng minh rằng tam giác DEC cân.

HẾT

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG HÓA KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP THCS

NĂM HỌC 2024 - 2025 Môn: Toán

ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Ý Đáp án Điểm 1 (3đ)

1

(1.5đ)

Với 0; 1, x x   ta có:

2 1 1 3 2 1 1 . : 2 1 2 2 x x x A x x x x            

0.5

1 1 ( 1)(3 1) 2 . . 2 1 2 1 x x x x x x x            

1 3 1 2 . 2 2 1 x x x x x          

0.5

3 2 2 3 2 . 2 1 1 x x x x x x       0.5

2

(1.5đ)

Ta có 3 2 5 3 1 1 x A x x      

Do đó A nguyên khi và chỉ khi 1 x  là ước của 5

0.5

* 1 1 x  suy ra 2. x 

* 1 1, x  suy ra 0 x  (loại)

0.5

* 1 5, x  suy ra 6. x 

* 1 5, x  suy ra 4. x 

Vậy A nguyên khi và chỉ khi { 4;2;6}. x

0.5

2 (6đ)

1

(2đ)

Từ 2 2 3 3 10 x y xy   , ta có (3 )(3 ) 0 x y y x    1.0

Vì 0 x y   nên 3 , x y  suy ra 3 0. x y   Do đó 3 0 y x   hay 3 x y 

0.5

Vậy 2025 3 2025 507. 3 x y y y A x y y y       

0.5

2 (2đ)

Ta có

2 2 ( )( ). 2025 ab bc a ca a b a a c         0.5

Tương tự ta có

2 2 2025 ( )( ); 2025 ( )( ). b a b c c b c b c a        

0.5

Do đó  

2 2 2 2 2025 2 ( ( )( )( ) )( )( ) . 025 2025 P a b c a b b c c a        

Suy ra P là số chính phương.

0.5

Mặt khác ( ) ( ) ( ) 2( ) a b b c c a a b c         là số chẵn nên trong các

số , , a b b c c a    phải có ít nhất một số chẵn. Do đó P chẵn.

0.5

Giả sử đường thẳng y mx n   đi qua (3; 1), (0;2) B C 

Vì đường thẳng y mx n   đi qua (0;2) C nên 2 n  0.5

ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC