Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT thành phố Lào Cai

THẦY NGUYỄN VIỆT HÀ THPT CHUYÊN LÀO CAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS THÀNH PHỐ LÀO CAI

NĂM HỌC 2024-2025

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 03 tháng 12 năm 2024 (Đề thi gồm 06 câu, in trong 01 trang) Câu 1 ( 5,0 điểm) 1.1. Cho biểu thức:

2 1 1 2 2 : ( 1 1 1 1

xy x A xy

   + + + − + = − + −       − + + −   

với

0; 0; 1),(2) x y xy > > ≠ a) Rút gọn biểu thức A .

b) Cho 1 1 12 x y + = , tìm giá trị lớn nhất của A.

1.2. Xét ba số thực dương , , a b c thoả mãn

2

2 1

1

c c ac b b c c

+ = − + +

. Tính giá trị biểu

thức

1 1 1

1 1 1 P ab a bc bc b ca c = + + + + + + + +

Câu 2 (2,0 điểm). Khởi động một giờ học, cô An cho lớp chơi trò chơi "Quay số nhận quà". Vòng quay số gồm 6 ô gắn các số tự nhiên từ 1 đển 6 (mỗi số gắn trên một ô). Người chơi được quay số 3 lần. Sau 3 lần quay, nếu kết quả nhận được có đủ các chữ số 3, 1, 2 thì sẽ được nhận quà. Hãy tính xác suất để người chơi được nhận quà. Câu 3(2,0 điểm). Bình khởi hành từ thành phố Lào Cai về huyện Bảo Thắng. Sau đó 5 phút, Minh và An khởi hành từ huyện Bảo Thắng về thành phố Lào Cai. Trên đường đi Bình gặp Minh rồi gặp An ở hai địa điểm cách nhau 6 km . Tính vận tốc mỗi người? Biết rằng thành phố Lào Cai cách huyện Bảo Thắng 33 km ; vận tốc của Bình gấp ruỡi vận tốc

của An và bằng 2 3 vận tốc của Minh.

Câu 4 (2,0 diểm) 4.1. Cho a , b là các số thực thỏa mãn 8 a b ab + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2. P a b = + 4.2. Với , , 0,3 1 a b c bc ac ab > − − = , chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c b c b c + + ≥ . Câu 5 (3,0 điểm)

5.1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 3 n > thì 3 2 2 A n n n = − − − không phải là số nguyên tố. 5.2. Cho x , y là các số nguyên thỏa mãn ( ) 1 xy x y − + chia hết cho 3 . Chứng minh x y + chia hết cho 3 . 5.3. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:

2 2 6 2 4 2 7 0 x xy y x y − − + + − = .

THẦY NGUYỄN VIỆT HÀ THPT CHUYÊN LÀO CAI

Câu 6 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn (AB AC) > nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thằng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M . Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Đường thẳng MK cắt các đường thẳng AH và BC thứ tự tại P và Q. Gọi F là giao điểm của AM và BC. a) Chứng minh: FA.FM=FH.FQ. b) Chứng minh: AKP  cân;

c) Chứng minh: 2 MB MK.MQ = và tứ giác QIHP nội tiếp. d) Đường thẳng KI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D . Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại R . Gọi E là trung điểm của AR . Chứng minh ba điểm Q,I,E thẳng hàng.

--------------------Hết----------------

THẦY NGUYỄN VIỆT HÀ THPT CHUYÊN LÀO CAI

GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LÀO CAI

NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 03 tháng 12 năm 2024 (Đề thi gồm 06 câu, in trong 01 trang) Câu 1 (5,0 điểm)

1.1. Cho biểu thức: 2 1 1 2 2 : ( 1 1 1 1

xy x A xy

   + + + − + = − + −       − + + −   

với

0; 0; 1) x y xy > > ≠ , (2) a) Rút gọn biểu thức A .

b) Cho 1 1 12 x y + = , tìm giá trị lớn nhất của A.

1.2. Xét ba số thực dương , , a b c thoả mãn

2

2 1

1

c c ac b b c c

+ = − + +

. Tính giá trị biểu

thức 1 1 1

1 1 1 P ab a bc bc b ca c = + + + + + + + +

Giải 1.1 a) Rút gọn A ;

2(1 ) (2 1)(1 ) (1 2 ) ( )( 1) ( )( 1) : 1 1

xy x xy A xy

   − − + − + + + − − − + − =       − −   

2(1 ) 2 (1 ) 1 : 1 1 x xy x xy xy xy

+ + = = − −

b) Ta có

4 1 1 2 12 2 xy A x y = + = ⋅ 

6 36 A A   ⇒ ⇒

A đạt 1 GTLN 36 khi 36 x y = = =

1.2

2

2 1

1

c c ac b b c c

+ = − + +

2 2 1 1 0 1

ac c c c c b

  −+ +   + −   ⇒ = −