Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Từ Sơn - Bắc Ninh

UBND THÀNH PHỐ TỪ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề gồm có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2024-2025

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 03/01/2025

Câu 1: (4 điểm)

1) Cho biểu thức 3 16 7 1 7 : 2 2 3 3 1 1 x x x x x A

x x x x x

   + − + + = − − −       + − + − −   

với 1, 4, 0 x x x   

a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi x thoả mãn 2 27 7 5 16 10 7 2 x + =

+

2) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng ( ) 1 : 3 2 d y x = − cắt hai trục tọa độ Ox , Oy lần

lượt tại ,A B. Tìm tọa độ các điểm A, B và viết phương trình đường thẳng đi qua thỏa mãn cắt đoạn thẳng tại sao cho diện tích tam giác AMC bằng . Câu 2: (4 điểm)

1) Giải phương trình: 2 3 13 6 2 1 4 x x x + = + +

2) Giải hệ phương trình ( ) 2

3 2 3 16

16 3

x x y

y xy

 − = −  + = 

Câu 3: (4 điểm)

1) Một chiếc hộp đựng 51 tấm thẻ như nhau được ghi các số tự nhiên từ 10 đến 60. Rút ngẫu

nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số ghi trên tấm thẻ là một số chẵn. 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2 2 2 5 60 37 x y x y xy + + + = Câu 4: (6.0 điểm). Cho tam giác ABC với AB AC  . Đường tròn ( ) ; O R tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC .

Gọi D, N lần lượt là các tiếp điểm của ( ) ; O R với BC và AB , kẻ đường kính DI của đường tròn

( ) ; . O R Tiếp tuyến đường tròn ( ) ; O R tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F.

1) Chứng minh BOE vuông và 2 . . . EI BD FI CD R = = 2) Gọi , P K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, AD. Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh 2 . AQ KP = 3) Gọi 1A là giao điểm của AO với cạnh 1 , BC B là giao điểm của BO với cạnh 1 , AC C là giao điểm của CO với cạnh AB và ( ) 1 1 ; O R là đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh

1 1 1 1 1

1 1 1 2 . AA BB CC R OO + +  −

Câu 5: (2.0 điểm).

1) Cho , 0 a b thỏa mãn 1 a b + = . Chứng minh rằng: 2 2 1 1 6 ab a b +  + .

2) Trong tuần, mỗi ngày bạn Nam chơi một môn thể thao. Nam chạy 3 ngày một tuần nhưng không bao giờ Nam chạy 2 ngày liên tiếp. Vào ngày thứ hai, Nam chơi bóng bàn và 2 ngày sau đó Nam chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày Nam chạy hoặc bơi. Hỏi Nam chơi cầu lông vào thứ mấy trong tuần?

---------- HẾT ---------- Họ và tên thí sinh:………………………………….. Số báo danh:…………………………………

Oxy,

( )  ( ) 2; 2 − M

OA C 5

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND THÀNH PHỐ TỪ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn: Toán Ngày thi 03/01/2025 Câu Đáp án Điểm

Câu 1.1 2,5 điểm

Cho biểu thức 3 16 7 1 7 : 2 2 3 3 1 1 x x x x x A

x x x x x

   + − + + = − − −       + − + − −   

với 1, 4, 0 x x x    a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x thoả mãn 2 27 7 5 16 10 7 2 x + =

+

3 16 7 1 7 : 2 2 3 3 1 1 x x x x x A

x x x x x

   + − + + = − − −       + − + − −   

với 1, 4, 0 x x x   

3 16 7 ( 1)( 1) ( 7)( 3) 2( 1) : ( 3)( 1) ( 3)( 1) ( 3)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x x

   + − + − + + − − = − −       + − + − + − −   

6 27 2 : ( 1)( 3) 1 x x x x x x − − − =

− + −

1,0

( 3)( 9) 1 . ( 1)( 3) 2 x x x x x x + − − =

− + −

9 2 x x

− =

−

Vậy 9 2 x A

x

− =

− Khi 1, 4, 0 x x x   

0,5

b. Có

2 2. ( 5 7) 2 27 7 5 2 54 14 5 1 16 10 7 2 2( 5 7) 2( 5 7) x + + + = = = = + + +

Suy ra 16 x = (t/m đk)

0,5

Thay 16 x = vào biểu thức A ta được kết quả 5 2 A − =

Kết luận

0,5

Câu 1.2 1,5 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng ( ) 1 : 3 2 d y x = − cắt hai trục tọa độ Ox ,

Oy lần lượt tại ,A B. Tìm tọa độ các điểm A, B và viết phương trình đường thẳng

đi qua thỏa mãn cắt đoạn thẳng tại sao cho diện tích tam giác AMC

bằng .

Tìm tọa độ của ,A B.

Xét ( ) 0 3 0; 3 x y B =  = − −

Xét ( ) 0 6 6;0 y x A =  = 

0,5

Oxy,

( ) 

( ) 2; 2 − M OA C

5